题目内容
有8个重量各不相同的物品，每个物品的重量都是整克数且都不超过15克．小平想以最少的次数用天平称出其中最重的物品．他用了如下的测定法：
（1）把8个物品分成2组，每组4个，比较这2组的轻重；
（2）把以上2组中较重的4个再分成2组，即每组2个，再比较它们的轻重；
（3）把以上2组中较重的分成各1个，取出较重的1个．
小平称了3次天平都没有平衡，最后便得到一个物品．可是实际上得到的是这8个物品当中从重到轻排在第5的物品．问：小平找出的这个物品有多重？并求出第二轻的物品重多少克？
（1）把8个物品分成2组，每组4个，比较这2组的轻重；
（2）把以上2组中较重的4个再分成2组，即每组2个，再比较它们的轻重；
（3）把以上2组中较重的分成各1个，取出较重的1个．
小平称了3次天平都没有平衡，最后便得到一个物品．可是实际上得到的是这8个物品当中从重到轻排在第5的物品．问：小平找出的这个物品有多重？并求出第二轻的物品重多少克？
分析：设这8个物品的重量从重到轻依次排列为：a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7，a8，因每个物品的重量都是整克数且都不超过15克．所以15≥a1＞a2＞a3＞a4＞a5＞a6＞a7＞a8≥1．小平找出的这个物品重量为a5，第二轻的物品重量为a7．由于a5加上一个比它轻的物品不可能大于两个比a5重的物品重量之和，因而第一次必须筛去3个比a5重的物品．据此可分情况进行讨论．
解答：解：根据以上分析知，由于a5加上一个比它轻的物品不可能大于两个比a5重的物品重量之和，这样就有以下四种可能：（1）
根据①式，a4比a1至少轻3克，a5比a2，a6比a3也都至少轻3克，则a7比a8至少重10克．如a8最小是1克，则a7最少重11克，a1最少重17克，与已知每个物品的重量都是整克数且都不超过15克矛盾．
（2）
根据①式，a3比a1至少轻2克，a5比a2至少轻3克，a6比a4也至少轻2克，则a7比a8至少重8克．如a8最小是1克，则a7最少重9克，根据②式，a5比a3至少轻2克，则a6比a7至少重3克．a6最少重12克，a1最少重17克，与已知每个物品的重量都是整克数且都不超过15克矛盾．
（3）
根据①式，a2比a1至少轻1克，a5比a3至少轻2克，a6比a4也至少轻2克，则a7比a8至少重7克．如a8最小是1克，则a7最少重8克，根据②式，a5比a2至少轻3克，则a6比a7至少重4克．a6最少重11克，a1最少重16克，与已知每个物品的重量都是整克数且都不超过15克矛盾．
（4）
根据①式，a1比a2至少重1克；a5比a3，a6比a4都至少轻2克，则a7比a8至少重4克．根据②式，a5比a1至少轻4克，则a6比a7至少重5克．a6最少重10克，a1最少重15克，符合题意，所以每个物品的重量是：
a1=15克，a2=14克，a3=13克，a4=12克，
a5=11克，a6=10克，a7=5克，a8=1克．
因此，小平找出的这个物品重11克，第二轻的物品重5克．
答：小平找出的这个物品重11克，第二轻的物品重5克．
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根据①式，a4比a1至少轻3克，a5比a2，a6比a3也都至少轻3克，则a7比a8至少重10克．如a8最小是1克，则a7最少重11克，a1最少重17克，与已知每个物品的重量都是整克数且都不超过15克矛盾．
（2）
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根据①式，a3比a1至少轻2克，a5比a2至少轻3克，a6比a4也至少轻2克，则a7比a8至少重8克．如a8最小是1克，则a7最少重9克，根据②式，a5比a3至少轻2克，则a6比a7至少重3克．a6最少重12克，a1最少重17克，与已知每个物品的重量都是整克数且都不超过15克矛盾．
（3）
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根据①式，a2比a1至少轻1克，a5比a3至少轻2克，a6比a4也至少轻2克，则a7比a8至少重7克．如a8最小是1克，则a7最少重8克，根据②式，a5比a2至少轻3克，则a6比a7至少重4克．a6最少重11克，a1最少重16克，与已知每个物品的重量都是整克数且都不超过15克矛盾．
（4）
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根据①式，a1比a2至少重1克；a5比a3，a6比a4都至少轻2克，则a7比a8至少重4克．根据②式，a5比a1至少轻4克，则a6比a7至少重5克．a6最少重10克，a1最少重15克，符合题意，所以每个物品的重量是：
a1=15克，a2=14克，a3=13克，a4=12克，
a5=11克，a6=10克，a7=5克，a8=1克．
因此，小平找出的这个物品重11克，第二轻的物品重5克．
答：小平找出的这个物品重11克，第二轻的物品重5克．
点评：本题的关键是根据第五重的物品加上一个比它轻的物品不可能大于两个比a5重的物品重量之和，因而第一次必须筛去3个比第五重的物品．然后分情况进行讨论．
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