Question

甲、乙两人轮流从1，2，3，…，100，101这101个自然数中每次划掉9 个数，经过11次后，还剩下两个数．如果甲第一个划数，请问甲是否有方法使得最后剩下的两个数之差是55？并说明理由．

Answer 1

分析：由于56-1=55，57-2=55，…101-46=55，所以甲可先划去47 至55 这9 个自然数，于是还剩下1 至46，56 至101这些数．将这些数分成以下46 组：（1，56），（2，57），（3，58），…，（45，100），（46，101）①．每组的两个数之差都是55．接下来，如果乙只划上述某组中的一个数，甲就划掉该组的另一个数；如果乙划掉了某组的两个数，甲就将未划掉数的另外一组划掉．按此操作即可．

解答：解：甲先划去47 至55 这9 个自然数，于是还剩下1 至46，56 至101这些数．
将这些数分成以下46 组：（1，56），（2，57），（3，58），…，（45，100），（46，101）①．
每组的两个数之差都是55．
接下来，如果乙只划上述某组中的一个数，甲就划掉该组的另一个数；
如果乙划掉了某组的两个数，甲就将未划掉数的另外一组划掉．
由此，甲、两人轮流划数，则最后剩下的两个数一定是①描述的一组，两数之差为55．
所以甲可以采取上述的策略使得最后剩下的两个数之差是55．

点评：完成本题首先要先由甲开始划，然后将数字分组才能实施．