Question

如图，把正方体用一个与它的一面平行的平面切开，分成A、B两个长方体，当A、B的表面积比是1：2时，用最简单的整数比表示A和B的体积比是________．

Answer 1

1：5
分析：要求这两个长方体的体积之比，把正方体的一个面看作A、B两个小长方体的底面，又因为长方体的体积=底面积×高，因为A和B的底面积相等都等于正方体的一个面的面积，所以它们的高的比就等于体积之比，据此设A的高为x、B的高为y，所以原正方体的棱长就是x+y；根据长方体的表面积公式可得：A的表面积是2（x+y）（x+y）+4x（x+y）；B的表面积是2（x+y）（x+y）+4y（x+y）；据此根据表面积之比是1：2，可得比例式：2（x+y）（x+y）+4x（x+y）：2（x+y）（x+y）+4y（x+y）=1：2；根据比例的基本性质可得2[2（x+y）（x+y）+4x（x+y）]=2（x+y）（x+y）+4y（x+y），据此再利用等式的性质进行整理得出x与y的比即可；

解答：设A的高为x、B的高为y，所以原正方体的棱长就是x+y；
根据题干可得比例式：
=；
2[2（x+y）（x+y）+4x（x+y）]=2（x+y）（x+y）+4y（x+y），
2（x+y）（x+y）+4x（x+y）=（x+y）（x+y）+2y（x+y），
2（x+y）+4x=x+y+2y，
2x+2y+4x=x+3y，
5x=y，
=，
因为长方体的底面积一定时，高的比就等于体积之比，
所以A和B的体积之比是1：5，
答：A和B的体积比是1：5．
故答案为：1：5．
点评：此题主要考查长方体的表面积与体积公式的灵活应用，利用等式的性质和比例的基本性质将比例式化简求出x、y的比过程较复杂．本题关键是明确：长方体的底面积一定时，高的比就等于体积之比．