(二)填空题

1.(安徽卷理15)若为不等式组表示的平面区域，则当从－2连续变化到1时，动直线 扫过中的那部分区域的面积为　　　

解析：如图知是斜边为3 的等腰直角三角形，是直角边为1等腰直角三角形，区域的面积

2.(广东卷文12)若变量x，y满足则z=3x+2y的最大值是________。

[解析]画出可行域,利用角点法可得答案70.

3.(全国Ⅰ卷理13文13)若满足约束条件则的最大值为　　　　　 ．

答案：9．如图，作出可行域，

作出直线，将平移至过点处

时，函数有最大值9.

4.(山东卷文16)设满足约束条件则的最大值为　　　　　 ．

解析：本小题主要考查线性规划问题。作图(略)易知可行域为一个四角形,其四个顶点

分别为验证知在点时取得最大值11.

5.(上海卷文11)在平面直角坐标系中，点的坐标分别为．如果是围成的区域(含边界)上的点，那么当取到最大值时，点的坐标是　______　　．

[解析]作图知取到最大值时，点在线段BC上,

故当时, 取到最大值. [答案]

6.(浙江卷理17)若，且当时，恒有，则以,b为坐标点P(，b)所形成的平面区域的面积等于____________。

[答案]

8.(福建卷理14)若直线3x+4y+m=0与圆 (为参数)没有公共点，则实数m的取值范围是　　　　　 .

解：圆心为，要没有公共点，根据圆心到直线的距离大于半径可得

，即，

9.(福建卷文14))若直线3x+4y+m=0与圆x²+y²-2x+4y+4=0没有公共点，则实数m的取值范围是　　 .

解：圆心为，要没有公共点，根据圆心到直线的距离大于半径可得，即，

10.(广东卷理11)经过圆的圆心，且与直线垂直的直线

方程是 　　　　　．

[解析]易知点C为，而直线与垂直，我们设待求的直线的方程为，将点C的坐标代入马上就能求出参数的值为，故待求的直线的方程为。

11.(广东卷理15文15)已知是圆的切线，切点为，．是圆的直径，与圆交于点，，则圆的半径　　　　　 ．

[解析]依题意，我们知道,由相似三角形的性质我们有,即。

12.(湖北卷文15)圆的圆心坐标为　　　　　　 　，和圆C关于直线对称的圆C′的普通方程是　　　　　　　　　 　.

解：由题设，圆心坐标；关于直线对称的圆C′圆心为，半径相等，所以方程是

13.(湖南卷文14)将圆沿x轴正向平移1个单位后所得到圆C，则圆C的方程是________,若过点(3，0)的直线和圆C相切，则直线的斜率为_____________.

[答案],

[解析]易得圆C的方程是,

直线的倾斜角为,

所以直线的斜率为

14.(四川卷理14文14)已知直线与圆，则上各点到的距离的最小值为_______。

[解]：如图可知：过原心作直线的垂线，则长即为所求；

∵的圆心为，半径为

　点到直线的距离为

　 ∴　 　　故上各点到的距离的最小值为

[点评]：此题重点考察圆的标准方程和点到直线的距离；

[突破]：数形结合，使用点到直线的距离距离公式。

15.(天津卷文15)已知圆的圆心与点关于直线对称．直线与圆相交于两点，且，则圆的方程为　　　　　　 ．

解析：圆心的坐标为，所以，圆的方程为．

16.(重庆卷理15)直线l与圆x²+y²+2x-4y+a=0(a<3)相交于两点A，B，弦AB的中点为(0，1)，则直线l的方程为　　　　 .

解：设圆心，直线的斜率为， 弦AB的中点为，的斜率为，则，所以 由点斜式得

17.(重庆卷文15)已知圆C： (a为实数)上任意一点关于直线l：x-y+2=0的对称点都在圆C上，则a=　　　　　 .

[答案]-2

[解析]本小题主要考查圆的一般方程及几何性质，由已知，直线经过了圆心，所以，从而有。

(一)选择题

1.(全国Ⅱ卷理11)等腰三角形两腰所在直线的方程分别为与，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为(　　 )

A．3　　　　　 　　　　 B．2　　　　　　　 　　　 　C．　　　　　 　　　　 D．

[答案]A

[解析]，，设底边为

由题意，到所成的角等于到所成的角于是有

再将A、B、C、D代入验证得正确答案是A

A．　　 　　　　　　　 　　 B．1 　　　　　　　C．　　　　　　　　　　 　　 D．5

解：如图知区域的面积是△OAB去掉一个小直角三角形。

(阴影部分面积比1大，比小,故选C,不需要算出来)

5.(北京卷理5)若实数满足则的最小值是(　　 )

A．0　　　　　 　　　　 B．1　　　　　　　 　 　　　C．　　　　 　　　　 D．9

[标准答案]: B

[试题分析]: 解出可行域的顶点，带入验证。

[高考考点]: 线性规划

[易错提醒]: 顶点解错

[备考提示]: 高考基本得分点。

6.(北京卷文6)若实数满足则的最小值是(　　 )

A．0　　　　　 　　　　 B．　　　　　 　　　　 C．1　　　　　　 　　　　 D．2

[解析]

　　　　 所以反函数为　　 [答案]B

7.(福建卷理8)若实数x、y满足则的取值范围是

A.(0,1)　　　　　　　　　　　　　　 B.　　　　　　　　　　　 C.(1,+)　　　　　　　　　　 D.

解：由已知，，又，故的取值范围是

8.(福建卷文10)若实数x、y满足则的取值范围是

A.(0，2)　　 　　B.(0，2)　　 　　　C.(2,+∞)　　　　 　D.[2，+∞)

解：由题设，所以，又，因此

又可看做可行域中的点与原点构成直线的斜率，画出可行域也可得出答案。

9.(广东卷理4)若变量满足则的最大值是( 　　)

A．90　　　　　　 　 　　B．80　　　　　 　　　 　　C．70　　　　 　　　　D．40

[解析]画出可行域,利用角点法易得答案C.

10.(海南宁夏卷文10)点P(x，y)在直线4x + 3y = 0上，且满足－14≤x－y≤7，则点P到坐标原点距离的取值范围是(　　 )

A. [0，5]　　　　　　　　　 B. [0，10]　　　　　　　　　　 C. [5，10]　　　　　　　　　　 D. [5，15]

[标准答案]：B

[试题解析]：根据题意可知点P在线段上，有线段过原点，故点P到原点最短距离为零，最远距离为点到原点距离且距离为10，故选B；

12.(湖南卷理3)已知变量x、y满足条件则的最大值是(　　 )

A.2　 　　　 　　B.5　　　 　　 　C.6　　　　　 　 D.8

[答案]C

[解析]如图得可行域为一个三角形，其三个顶点

分别为代入验证知在点

时,最大值是

故选C.

13.(湖南卷文3)已条变量满足则的最小值是(　　 )

A．4　　　　　 　B.3　 　　　　　　C.2　　　　 　　　D.1

[答案]C

[解析]如图得可行域为一个三角形，其三个顶点

分别为代入验证知在点

时,最小值是故选C.

14.(辽宁卷文9)已知变量满足约束条件则的最大值为

A．　　　　 　　　 B．　　　　 　　　 C．　　　　 　　　　 D．

17.(陕西卷理10)已知实数满足如果目标函数的最小值为，则实数等于(　　 )

A．7　　　　　 　　　 B．5　　　　 　　　　 　C．4　　　　　　 　　　 D．3

解：画出满足的可行域，可得直线与直线的交点使目标函数取得最小值，故 ，解得，

代入 得

18.(天津卷理2文2)设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为

　(A)　 2 　　(B)　 3　 　　(C)　 4　 　　　(D)　 5

解析：如图，由图象可知目标函数过点时取得最大值，，选D．

19.(浙江卷文10)若，且当时，恒有，则以,b为坐标点 所形成的平面区域的面积等于

(A)　 　　　　(B)　　　 　　　(C)1　　　　 　　(D)

解析：本小题主要考查线性规划的相关知识。由恒成立知，当时，恒成立，∴；同理，∴以,b为坐标点 所形成的平面区域是一个正方形，所以面积为1. 答案：C

20.(安徽卷理8文10)若过点的直线与曲线有公共点，则直线的斜率的取值范围为(　　 )　

　A． 　　 　B．　 　　 C．　　　　 D．

解：设直线方程为，即，直线与曲线有公共点，圆心到直线的距离小于等于半径 ，

得，选择C　 另外，数形结合画出图形也可以判断C正确。

21.(北京卷理7)过直线上的一点作圆的两条切线，当直线关于对称时，它们之间的夹角为(　　 )

A．　　　　　　 　 　　B．　　　　　　　 　　　 C．　　　　　 　　　 D．

[标准答案]: C

[试题分析一]: 过圆心M作直线：y=x的垂线交与N点，过N点作圆的切线能够满足条件，不难求出夹角为60。

[试题分析二]:明白N点后，用图象法解之也很方便

[高考考点]: 直线与圆的位置关系。

[易错提醒]: N点找不到。

[备考提示]: 数形结合这个解题方法在高考中应用的非常普遍，希望加强训练。

22.(广东卷文6)经过圆的圆心C，且与直线垂直的直线方程是

A、　　 B、　　 C、　　 D、

[解析]易知点C为，而直线与垂直，我们设待求的直线的方程为，将点C的坐标代入马上就能求出参数的值为，故待求的直线的方程为,选C.(或由图形快速排除得正确答案.)

23.(湖北卷理9)过点作圆的弦，其中弦长为整数的共有

A.　 16条　　　　 　B. 17条　　　 　　　C. 32条　 　　　　　D. 34条

解：圆的标准方程是：，圆心，半径过点的最短的弦长为10，最长的弦长为26,(分别只有一条)还有长度为的各2条，所以共有弦长为整数的条。

24.(辽宁卷理3文3)圆与直线没有公共点的充要条件是(　　 )

A．　　　　　 　　　 B．

C．　　　　　 　　　 D．

答案：C

解析：本小题主要考查直线和圆的位置关系。依题圆与直线没有公共点

25.(全国Ⅰ卷理10)若直线通过点，则(　　 )

A．　　　　　　　 B．　　　　　 C．　　　　 D．

解析：D．由题意知直线与圆有交点，则.

另解：设向量，由题意知

由可得

26.(全国Ⅰ卷文10)若直线与圆有公共点，则(　　 )

A．　　　　　　　 B．　　　　　 C．　　　　 D．

27.(山东卷理11)已知圆的方程为x²+y²-6x-8y＝0.设该圆过点(3，5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为

(A)10　　　　(B)20　　　　(C)30　　　　(D)40

解：　 化成标准方程 ，过点的最长弦为

最短弦为　

28.(山东卷文11)若圆的半径为1，圆心在第一象限，且与直线和轴相切，则该圆的标准方程是(　　 )

A．　　　　　 　　 B．

C．　　　　　　　　　　 D．

解析：本小题主要考查圆与直线相切问题。

设圆心为由已知得选B.

29.(陕西卷理5文5)直线与圆相切，则实数等于A．或　 　　 B．或　　　　　 C．或　　　　　 D．或

解：圆的方程，圆心到直线的距离等于半径或者

30.(上海卷理15文15)如图，在平面直角坐标系中，是一个与x

轴的正半轴、y轴的正半轴分别相切于点C、D的定圆所围成区域

(含边界)，A、B、C、D是该圆的四等分点，若点P(x,y)、

P’(x’,y’)满足x≤x’ 且y≥y’，则称P优于P’，如果中的

点Q满足：不存在中的其它点优于Q，那么所有这样的点Q组成

的集合是劣弧(　 )

　A．　 　　　　B．　 　　　　　　C．　 　　　　　　D．　

[答案]

[解析]依题意，在点Q组成的集合中任取一点，过该点分别作平行于两坐标轴的直线，构成的左上方区域(权且称为“第二象限”)与点Q组成的集合无公共元素，这样点Q组成的集合才为所求. 检验得：D． 　

31.(重庆卷理3)圆O₁:x²+y²-2x=0和圆O₂:x²+y²-4y=0的位置关系是

(A)相离　　　　　　　 (B)相交　　　　　　 (C)外切　　　　 (D)内切

解： 化成标准方程：，，则_，，，两圆相交

32.(重庆卷文3)曲线C:(为参数)的普通方程为

(A)(x-1)²+(y+1)²=1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (B) (x+1)²+(y+1)²=1

(C) (x-1)²+(y-1)²=1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (D) (x-1)²+(y-1)²=1

[答案]C

[解析]本小题主要考查圆的参数方程。移项，平方相加，，故选C。

33．(四川延考理9)过点的直线与圆相交于两点，则的最小值为

(A)　　　 　　(B)　　 　　　(C)　　 　　　　(D)

解： 弦心距最大为，的最小值为

34．(四川延考文9)过点的直线与圆相交于，两点，则的最小值为(　)

A．2　　　　 　B．　　　　 　C．3　　　　 　D．

解：如图最小时，弦心距最大为1，

(2009江苏卷18)(本小题满分16分) 在平面直角坐标系中，已知圆和圆.(1)若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程；(2)设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标。

解 　(1)设直线的方程为：，即

由垂径定理，得：圆心到直线的距离，

结合点到直线距离公式，得： 　　　化简得：

求直线的方程为：或，即或

(2) 设点P坐标为，直线、的方程分别为： 　　

，即：

因为直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，两圆半径相等。

由垂径定理，得：：圆心到直线与直线的距离相等。 　　

故有：，

化简得：

关于的方程有无穷多解，有： 　　　　　　

解之得：点P坐标为或。

2008高考试题及解析

14.(2009上海卷文) 已知实数x、y满足 则目标函数z=x-2y的最小值是_______. 　　　

答案　　 　－9

解析　 画出满足不等式组的可行域如右图，目标函数化为：－z，画直线及其平行线，当此直线经过点A时，－z的值最大，z的值最小，A点坐标为(3,6)，所以，z的最小值为：3－2×6＝－9。

11.(2009北京文)若实数满足则的最大值为　　　　 .

答案　　 9

品10件,乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产A类产品50件,B类产品140件,所需租赁费最少为___元. 　　　

解析　 设甲种设备需要生产天, 乙种设备需要生产天, 该公司所需租赁费为元,则，甲、乙两种设备生产A,B两类产品的情况为下表所示: 　　　

产品　 设备	A类产品　 (件)(≥50)	B类产品　 (件)(≥140)	租赁费　　 (元)
甲设备	5	10	200
乙设备	6	20	300

则满足的关系为即:, 　　　

作出不等式表示的平面区域,当对应的直线过两直线的交点(4,5)时，目标函数取得最低为2300元. 　　　

10.(2009浙江卷文)若实数满足不等式组则的最小是　　　　 ．　 　　

[命题意图]此题主要是考查了线性规划中的最值问题，此题的考查既体现了正确画线性区域的要求，也体现了线性目标函数最值求解的要求

解析　 通过画出其线性规划，可知直线过点时，

9.(2009浙江理)若实数满足不等式组则的最小值是　　　 ．　 　　答案　 4　

解析　 通过画出其线性规划，可知直线过点时，

7.(湖北文14)过原点O作圆x²+y^2‑－6x－8y+20=0的两条切线，设切点分别为P、Q，

则线段PQ的长为　　　　　　 。[答案]4

[解析]可得圆方程是又由圆的切线性质及在三角形中运用正弦定理得.

8(江西理16)．设直线系,对于下列四个命题：

　．中所有直线均经过一个定点

　．存在定点不在中的任一条直线上

　．对于任意整数，存在正边形,其所有边均在中的直线上

　．中的直线所能围成的正三角形面积都相等其中真命题的代号是　　　　 (写出所有真命题的代号)．

[解析]因为所以点到中每条直线的距离

即为圆:的全体切线组成的集合,从而中存在两条平行直线,所以A错误；

又因为点不存在任何直线上,所以B正确；对任意,存在正边形使其内切圆为圆,故正确；中边能组成两个大小不同的正三角形和,故D错误,故命题中正确的序号是 B,C.[答案]　

6.(全国Ⅱ文15)已知圆O：和点A(1，2)，则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于　 　　　　　　[答案]

[解析]由题意可直接求出切线方程为y-2=(x-1)，即x+2y-5=0,从而求出在两坐标轴上的截距分别是5和，所以所求面积为。

的倾斜角可以是

　①　 ②　 ③　 ④　　 ⑤ 　　

其中正确答案的序号是　　　　　 .(写出所有正确答案的序号)

[解析]解：两平行线间的距离为，由图知直线与的夹角为，的倾斜角为，所以直线的倾斜角等于或。

[答案]①⑤

5.(全国Ⅱ理16)已知为圆:的两条相互垂直的弦，垂足为,则四边形的面积的最大值为　　　　　　　　 。[答案]5

[解析]设圆心到的距离分别为,则.

四边形的面积