已知函数f（x）=e^x+ax²，其中a为实常数．
（1）若f（x）在区间（1，2）上单调递减，求实数a的取值范围；
（2）当a=-2时，求证：f（x）有3个零点；
（3）设y=g（x）为f（x）在x₀处的切线，若“?x≠x₀，（f（x）-g（x））（x-x₀）＞0”，则称x₀为f（x）的一个优美点，是否存在实数a，使得x₀=2是f（x）的一个优美点？说明理由．（参考数据：e≈2.718）

已知函数f（x）=asinx+bcosx的图象经过点(

π

6

，0)，(

π

3

，1)．
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）当x∈R时，求f（x）的单调递减区间；
（Ⅲ）若x∈[0，

π

2

]，是否存在实数m使函数g(x)=

3

f(x)+m2的最大值为4？若存在，求出实数m的值，若不存在，说明理由．

已知函数f(x)=

a

x

+x+(a-1)lnx+15a，F（x）=2x³-3（2a+3）x²+12（a+1）x+12a+2，其中a＜0且a≠-1．
（Ⅰ） 当a=-2，求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ） 若x=-1时，函数F（x）有极值，求函数F（x）图象的对称中心的坐标；
（Ⅲ）设函数g（x）=

F(x)，x≤1 f(x)，x＞1

（e是自然对数的底数），是否存在a使g（x）在[a，-a]上为减函数，若存在，求实数a的范围；若不存在，请说明理由．

已知函数f（x）=

3 x

a

+

3 (a-1)

x

，a≠0且a≠1．
（1）试就实数a的不同取值，写出该函数的单调增区间；
（2）已知当x＞0时，函数在（0，

6

）上单调递减，在（

6

，+∞）上单调递增，求a的值并写出函数的解析式；
（3）记（2）中的函数图象为曲线C，试问是否存在经过原点的直线l，使得l为曲线C的对称轴？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．