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在复平面内, 是原点,向量对应的复数是,=2+i。
(Ⅰ)如果点A关于实轴的对称点为点B,求向量对应的复数和;
(Ⅱ)复数,对应的点C,D。试判断A、B、C、D四点是否在同一个圆上?并证明你的结论。
【解析】第一问中利用复数的概念可知得到由题意得,A(2,1) ∴B(2,-1) ∴ =(0,-2) ∴=-2i ∵ (2+i)(-2i)=2-4i, ∴ =
第二问中,由题意得,=(2,1) ∴
同理,所以A、B、C、D四点到原点O的距离相等,
∴A、B、C、D四点在以O为圆心,为半径的圆上
(Ⅰ)由题意得,A(2,1) ∴B(2,-1) ∴ =(0,-2) ∴=-2i 3分
∵ (2+i)(-2i)=2-4i, ∴ = 2分
(Ⅱ)A、B、C、D四点在同一个圆上。 2分
证明:由题意得,=(2,1) ∴
同理,所以A、B、C、D四点到原点O的距离相等,
∴A、B、C、D四点在以O为圆心,为半径的圆上
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如图,边长为2的正方形ABCD,E是BC的中点,沿AE,DE将折起,使得B与C重合于O.
(Ⅰ)设Q为AE的中点,证明:QDAO;
(Ⅱ)求二面角O—AE—D的余弦值.
【解析】第一问中,利用线线垂直,得到线面垂直,然后利用性质定理得到线线垂直。取AO中点M,连接MQ,DM,由题意可得:AOEO, DOEO,
AO=DO=2.AODM
因为Q为AE的中点,所以MQ//E0,MQAO
AO平面DMQ,AODQ
第二问中,作MNAE,垂足为N,连接DN
因为AOEO, DOEO,EO平面AOD,所以EODM
,因为AODM ,DM平面AOE
因为MNAE,DNAE, DNM就是所求的DM=,MN=,DN=,COSDNM=
(1)取AO中点M,连接MQ,DM,由题意可得:AOEO, DOEO,
AO=DO=2.AODM
因为Q为AE的中点,所以MQ//E0,MQAO
AO平面DMQ,AODQ
(2)作MNAE,垂足为N,连接DN
因为AOEO, DOEO,EO平面AOD,所以EODM
,因为AODM ,DM平面AOE
因为MNAE,DNAE, DNM就是所求的DM=,MN=,DN=,COSDNM=
二面角O-AE-D的平面角的余弦值为
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(1)椭圆C:(a>b>0)与x轴交于A、B两点,点P是椭圆C上异于A、B的任意一点,直线PA、 PB分别与y轴交于点M、N,求证:为定值.
(2)由(1)类比可得如下真命题:双曲线C:(a>0,b>0)与x轴交于A、B两点,点P是双曲线C上异于A、B的任意一点,直线PA、PB分别与y轴交于点M、N,求证:为定值.请写出这个定值(不要求给出解题过程).
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