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一、选择题:(每小题5分,共50分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
A
D
D
A
B
C
C
D
二、填空题:(每小题5分,共30分)
11. ; 12. ; 13. ; 14. 2或; 15. ; 16. 9.
三、解答题:(5大题,共70分)
17.(1)由,得------------3分
为锐角,, -------5分
--------------------------6分
(2) ---8分
又,,得, --------------------------10分
--------------------------12分
(若通过得出,求出,
未舍去,得两解,扣2分.)
18.(1)设点,由得,,
由,得, ------------------------4分
即. ---------------------6分
(2)由(1)知为抛物线:的焦点,为过焦点的直线与的两个交点.
①当直线斜率不存在时,得,,. ----8分
②当直线斜率存在且不为0时,设,代入得
.设,
则,得, ----12分
(或)
,此时,由得
。 ---------------14分
19.解法一:
(1)在中,,,
∴,取中点,
, ,
在中,,,又均为锐角,∴, ---------------2分
,又外, . ---------------4分
(2)∵平面平面,∴,过作于,连结,则,
为二面角的平面角, ------------------------6分
易知=,∴,
二面角的大小为. ------------------------9分
(其它等价答案给同样的得分)
(3),点到平面的距离,就是到平面的距离,-------------------------------11分
过作于,则,的长度即为所求, 由上 (或用等体积求)----------------------------------14分
解法二:
如图,建立图示空间直角坐标系.
则,,,,.
(1)
(2)利用,其中分别为两个半平面的法向量,
或利用求解.
(3)利用,其中为平面的法向量。
20.(1),∴ ①
又,∴,即 ②
由①②得,.又时,①、②不成立,故.------2分
∴,设x1、x2是函数的两个极值点,则x1、x2是方程=0的两个根,,
∴x1+x2=,又∵ A、O、B三点共线, =,
∴=0,又∵x1≠x2,∴b= x1+x2=,∴b=0. ----------------6分
(2)时,, -----------------------7分
由得,可知在上单调递增,在
上单调递减, . ---------------------9分
①由得的值为1或2.(∵为正整数) -----------------11分
②时,记在上切线斜率为2的切点的横坐标为,
则由得,依题意得,
得与矛盾.
(或构造函数在上恒正)
综上,所求的值为1或2. -----------------------14分
21.(1)∵为正数, ①,=1,∴>0(n∈N*),……… 1分
又 ②,①―②两式相减得,
∴与同号, ---------------------4分
∴对n∈N*恒成立的充要条件是>0. ---------------------7分
由=>0,得>7 . ---------------------8分
(2)证法1:假设存在,使得对任意正整数都有 .
则,则>17 . --------------------9分
另一方面,==,---------11分
∴,,……,,
∴,∴=, ①
--------------------------------14分
当m>16时,由①知,,不可能使对任意正整数n恒成立,
--------------------------------15分
∴m≤16,这与>17矛盾,故不存在m,使得对任意正整数n都有 .
--------------------------------16分
(2)证法2:假设存在m,使得对任意正整数n都有 .
则,则>17 . --------------------9分
另一方面,, ------------------11分
∴,,……,,
∴, ① -----------------14分
当m>16时,由①知,,不可能使对任意正整数恒成立,
--------------------------15分
∴m≤16,这与>17矛盾,故不存在m,使得对任意正整数n都有 。 -----------------------------16分