中心在原点，焦点在轴上的一椭圆和双曲线有共同的焦点，椭圆的长半轴和双曲线的实半轴之差为4，离心率之比为．求这两曲线的方程.

已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆C的离心率为，且经过点，过点P（2，1）的直线与椭圆C在第一象限相切于点M ．

   （1）求椭圆C的方程；

   （2）求直线的方程以及点M的坐标；

   （3） 是否存过点P的直线与椭圆C相交于不同的两点A、B，满足？若存在，求出直线l₁的方程；若不存在，请说明理由．

已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆的离心率为，椭圆上异于长轴顶点的任意点与左右两焦点、构成的三角形中面积的最大值为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知点，连接与椭圆的另一交点记为，若与椭圆相切时、不重合，连接与椭圆的另一交点记为，求的取值范围.

已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆的离心率为，点是椭圆上的一点，且点 到椭圆两焦点的距离之和为

（1）求椭圆的方程；

（2）过点，倾斜角为的直线与上述椭圆交于两点，求