摘要： 求角.求距离 如果要想解决线面角.二面角以及距离问题就要增加平面法向量的知识. 定义:如果n⊥α.那么向量n就叫平面α的法向量. 求解方法: (1)异面直线所成的角α.利用它们所对应的向量转化为向量的夹角θ问题.但..所以 (2)直线与平面所成的角.利用直线的方向向量与平面的法向量夹角的余角.如图2:. 图2 (3)求二面角.转化为两平面法向量的夹角或夹角的补角.显见上述求法都避开了找角的繁琐.直接计算就可以了. 求点面距离.转化为此点与面内一点连线对应向量在法向量上投影的绝对值. 例3. 如图3.已知长方体ABCD-A1B1C1D1中.AB＝2.AA1＝1.直线BD与平面AA1B1B所成的角为30°.AE垂直BD于E.F为A1B1的中点. (1)求异面直线AE与BF所成的角. (2)求平面BDF与平面AA1B所成二面角的大小. (3)求点A到平面BDF的距离. 图3 解:在长方体ABCD-A1B1C1D1中.以AB所在直线为x轴.AD所在直线为y轴.AA1所在直线为z轴.建立空间直角坐标系如图3. 所以A.F.因为直线BD与平面AA1B1B所成的角为30°.所以∠DBA＝30° 又AB＝2.AE⊥BD.所以AE＝1.AD＝.因为E(..0).D(0..0) (1)因为 所以 即异面直线AE.BF所成的角为 (2)易知平面AA1B的一个法向量m＝是平面BDF的一个法向量. 由 所以 取 所以 (3)点A到平面BDF的距离即在平面BDF的法向量n上的投影的绝对值. 所以 例4. 如图4.已知正四棱锥R-ABCD的底面边长为4.高为6.点P是高的中点.点Q是侧面RBC的重心.求直线PQ与底面ABCD所成的角. 图4 解:以O为原点.以OR所在直线为z轴.以过O与AB垂直的直线为x轴.与AB平行的直线为y轴建立空间直角坐标系. 因为底面边长为6.高为4.所以B.R.所以Q(0..2).P.(0..-1).面ABCD的一个法向量为n＝.设PQ与底面ABCD所成的角为α.则. 空间向量在立体几何中的应用体现了数形结合的思想.培养了学生使用向量代数方法解决立体几何问题的能力.目的是将空间元素的位置关系转化为数量关系.将形式逻辑证明转化为数值计算.用数的规范性代替形的直观性.可操作性强.解决问题的方法具有普遍性.大大降低了立体几何对空间想象能力要求的难度. 年级 高中 学科 数学 版本 期数 内容标题 浅谈向量在几何中的应用 分类索引号 G.622.46 分类索引描述 辅导与自学 主题词 浅谈向量在几何中的应用 栏目名称 专题辅导 供稿老师 审稿老师 录入 许咏梅 一校 郭敏 二校 审核

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