摘要：若.求证: 证明:∵ ∴7.求证: 证明: [练习]当时.求证: 证明:∵. ∴.且. ∴. ∴时, . 放缩法是不等式证明中一种常用的方法.也是一种非常重要的方法.在证明过程中.适当地进行放缩.可以化繁为简.化难为易.达到事半功倍的效果.但放缩的范围较难把握.常常出现放缩之后得不出结论或得出相反结论的现象.因此.使用放缩法时.如何确定放缩目标尤为重要.要想正确确定放缩目标.就必须根据欲证结论.抓住题目的特点.掌握放缩技巧.真正做到弄懂弄通.并且还要根据不同题目的类型.采用恰到好处的放缩方法.才能把题解活.从而培养和提高自己的思维和逻辑推理能力.分析问题和解决问题的能力. ⒈利用三角形的三边关系 ［例1］ 已知a.b.c是△ABC的三边.求证: 证明:﹥∵=为增函数.又∵∴. 点评:学生知道要利用三角形的三边关系.但无法找到放缩的方法.难在构造函数. ⒉利用函数的单调性 ［例2］ 求证:对于一切大于1的自然数n.恒有. 证明: 原不等式变形为 . 令 则 .所以 . 即 是单调增函数.所以 .故原不等式成立. 点评:一开始学生就用数学归纳法进行尝试.结果失败.就放弃了.若使不等式的右边变为常数.再用单调性放缩就好了. ⒊利用基本不等式 ［例3］已知f(x)=x+ 求证:- 证明:, 设 (1) (2) 得 点评:用数学归纳法证明.思路简单.但是难度很大.可以通过二项式定理展开.倒序法与基本不等式相结合进行放缩. ⒋利用绝对值不等式 ［例4］设=.当时.总有.求证:. 证明:∵.∴... 又∵∴ 所以.∴=7. 点评:本题是一道函数与绝对值不等式综合题.学生不能找到解题的突破口.关键在于找到a.b.c与f的联系.再利用绝对值内三角形不等式适当放缩. ⒌利用不等式和等比数列求和 ［例5］求证:. 证明:=.利用不等式 ∴﹤=﹤. 点评:有些学生两次用错位相减进行放缩.但是没有找到恰当的变形放缩.对利用不等式进行放缩不熟悉.若经过“凑 与不等式相结合.再利用等比数列求和放缩就到了. ⒍ 利用错位相减法求和 ［例6］已知a1, a2, a3, --, an, --构成一等差数列.其前n项和为Sn＝n2, 设bn＝, 记{bn}的前n项和为Tn, (1) 求数列{an}的通项公式,(2) 证明:Tn<1. 解:(1) a1＝S1＝1, 当n≥2时, an＝Sn-Sn-1＝2n-1; 由于n＝1时符合公式. ∴ an＝2n-1 (n≥1). (2) Tn＝, ∴ Tn＝, 两式相减得Tn＝+＝+(1-)-, ∴ Tn＝+(1-)-<1. ⒎ 利用裂项法求和 ［例7］已知函数在上有定义.且满足①对任意的 ②当时..证明不等式. 证明:令.则.令.则.故在上为奇函数. 设.且由可得 .则由题有.故.即.所以为 上减函数.从而函数在时.. 所以.即 . 点评:本题将数列与不等式.函数综合考查数学逻辑推理能力.分析问题能力.变形能力.可以用数学归纳法证明不等式.但学生解题的过程不过完善.若用裂项法进行数列求和放缩就简单 ⒏利用二项式定理展开 ［例8］已知数列满足(n∈N*),是的前n项的和.并且． (1)求数列的前项的和, (2)证明:≤．(3)求证: 解: (1)由题意得 两式相减得 所以再相加 所以数列是等差数列．又又 所以数列的前项的和为． 而 ≤. (3)证明: 点评:这是一道很有研究价值的用放缩法证明不等式的典例.考查了与 an 的关系.有些学生没有对an中的n进行讨论.也没有合并.虽用了二项式展开.但无法构造不等式进行放缩.对第3小题的放缩也可裂项法求和进行放缩.

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