摘要：18．2008年北京奥运会志愿者中有这样一组志愿者:有几个人通晓英语.还有几个人通晓俄语.剩下的人通晓法语.已知从中任抽一人是通晓英语的人的概率为.是通晓俄语的人数的概率为.是通晓法语的人的概率为.且通晓法语的人数不超过3人.现从这组志愿者中选出通晓英语.俄语和法语的志愿者各1名. (I)求这组志愿者的人数, (II)若A通晓英语.求A被选中的概率, (III)若B通晓俄语.C通晓法语.求B和C不全被选中的概率. 20090318

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一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分。在每小题经出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。））

1―5DCBAC 6―10BCADB 11―12BB

二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分。将符合题意的答案填在题后的横线上）

13．2 14．70 15． 16．

三、解答题：本大题共6个小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．解：（I）…………4分

…………6分

（II）

…………8分

…………10分

18．解：（I）设通晓英语的有人，

且…………1分

则依题意有：

…………3分

所以，这组志愿者有人。…………4分

（II）所有可能的选法有种…………5分

A被选中的选法有种…………7分

A被选中的概率为…………8分

（III）用N表示事件“B，C不全被选中”，则表示事件“B，C全被选中”……10分

则…………11分

所以B和C不全被选中的概率为……12分

说明：其他解法请酌情给分。

（I），

AD为PD在平面ABC内的射影。

又点E、F分别为AB、AC的中点，

在中，由于AB=AC，故

，平面PAD……4分

（II）设EF与AD相交于点G，连接PG。

平面PAD，dm PAD,交线为PG，

过A做AO平面PEF，则O在PG上，

所以线段AO的长为点A到平面PEF的距离

在

即点A到平面PEF的距离为…………8分

说明：该问还可以用等体积转化法求解，请根据解答给分。

（III）

平面PAC。

过A做，垂足为H，连接EH。

则

所以为二面角E―PF―A的一个平面角。

在

即二面角E―PF―A的正切值为

…………12分

解法二：

AB、AC、AP两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系，

则A（0，0，0），E（2，0，0），D（2，2，0），F（0，2，0），P（0，0，2）……2分

且

平面PAD

（II）为平面PEF的一个法向量，

则

令…………6分

故点A到平面PEF的距离为：

所以点A到平面PEF的距离为…………8分

（III）依题意为平面PAF的一个法向量，

设二面角E―PF―A的大小为（由图知为锐角）

则，…………10分

即二面角E―PF―A的大小…………12分

20．解：（I）依题意有： ①

所以当 ②……2分

①-②得：化简得：

所以数列是以2为公差的等差数列。…………4分

故…………5分

设

是公比为64的等比数列

…………8分

（II）……9分

…………10分

…………11分

…………12分

21．解：（I）设，则依题意有：

故曲线C的方程为…………4分

注：若直接用

得出，给2分。

（II）设，其坐标满足

消去…………※

故…………5分

而

化简整理得…………7分

解得：时方程※的△>0

（III）

因为A在第一象限，故

由

故

即在题设条件下，恒有…………12分

22．解：（I）…………3分

处的切线互相平行

…………5分

…………6分

（II）

令

当

是单调增函数。…………9分

恒成立，

…………10分

值满足下列不等式组

①，或②

不等式组①的解集为空集，解不等式组②得

综上所述，满足条件的…………12分

2008年北京奥运会志愿者中有这样一组志愿者：有几个人通晓英语，还有几个人通晓俄语，剩下的人通晓法语，已知从中任抽一人是通晓英语的人的概率为

，是通晓俄语的人数的概率为

，是通晓法语的人的概率为

，且通晓法语的人数不超过3人．现从这组志愿者中选出通晓英语、俄语和法语的志愿者各1名．
（I）求这组志愿者的人数；
（II）若A通晓英语，求A被选中的概率；
（III）若B通晓俄语，C通晓法语，求B和C不全被选中的概率．查看习题详情和答案>>

2008年北京奥运会志愿者中有这样一组志愿者：有几个人通晓英语，还有几个人通晓俄语，剩下的人通晓法语，已知从中任抽一人是通晓英语的人的概率为 $数学公式$ ，是通晓俄语的人数的概率为 $数学公式$ ，是通晓法语的人的概率为 $数学公式$ ，且通晓法语的人数不超过3人．现从这组志愿者中选出通晓英语、俄语和法语的志愿者各1名．
（I）求这组志愿者的人数；
（II）若A通晓英语，求A被选中的概率；
（III）若B通晓俄语，C通晓法语，求B和C不全被选中的概率．

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2008年北京奥运会志愿者中有这样一组志愿者：有几个人通晓英语，还有几个人通晓俄语，剩下的人通晓法语，已知从中任抽一人是通晓英语的人的概率为

，是通晓俄语的人数的概率为

，是通晓法语的人的概率为

，且通晓法语的人数不超过3人．现从这组志愿者中选出通晓英语、俄语和法语的志愿者各1名．
（I）求这组志愿者的人数；
（II）若A通晓英语，求A被选中的概率；
（III）若B通晓俄语，C通晓法语，求B和C不全被选中的概率．
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2010年上海世博会的志愿者中有这样一组志愿者：有几个人只通晓英语，还有几个人只通晓俄语，剩下的人只通晓法语，已知从中任抽一人恰是通晓英语的人的概率为

，恰是通晓俄语的人的概率为

，且通晓法语的人数不超过3人．
（I）求这组志愿者的人数；
（II）现从这组志愿者中选出通晓英语、俄语和法语的志愿者各1名，若甲通晓俄语，乙通晓法语，求甲和乙不全被选中的概率；
（III）现从这组志愿者中用抽签法选出3人，求3人所会的语种数X的分布列．查看习题详情和答案>>

2010年上海世博会的志愿者中有这样一组志愿者：有几个人只通晓英语，还有几个人只通晓俄语，剩下的人只通晓法语，已知从中任抽一人恰是通晓英语的人的概率为

，恰是通晓俄语的人的概率为

，且通晓法语的人数不超过3人．
（I）求这组志愿者的人数；
（II）现从这组志愿者中选出通晓英语、俄语和法语的志愿者各1名，若甲通晓俄语，乙通晓法语，求甲和乙不全被选中的概率；
（III）现从这组志愿者中用抽签法选出3人，求3人所会的语种数X的分布列．
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