20090505

7． 提示: 当x>0时,的图像相同,故可排除（A）、（C）、（D）.故选B

8．令=5，得3n=5r＋10 , 当r=1时，n=5.故选C

9． 提示由,得,所以,  点P的轨迹是圆（除去与直线AB的交点）.故选B

10．如图, 由椭圆及第一定义可得,△ABF的周长为AB+

AF+BF=AB+2a-AF₁+BF=4+（AB-AF₁）+BF≤4+BF₁+

BF=4+4=8.当且仅当三点A、F₁、B共线时,不等式取  

等号,故选B.

11．提示: 易知数列｛a_n｝是以3为周期的数列，a₁=2,  a₂=   ,   a₃= ,  a₄ =2, 

故 a₂₀₀₉=2故选B

12．提示: ∵f ′（x）=g′（x）, ∴f（x）,g（x）可以是同一函数,或者仅是常数项不同的两个函数, 而得

f（x）-g（x）是常数函数, 即B为最佳答案,故选B.

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．9；提示:  T_r+1=（x）^n-r（-）^r,由题意知：-+=27n=9

∴展开式共有10项，二项式系数最大的项为第五项或第六项，故项的系数最大的项为第五项。

14． ;矩形；若  则以 为邻边的平行四边形对角线相等,所以此四边形必为矩形,可见的夹角为

15． ；提示: P=1-=

16．提示：当直角三角形的斜边垂直与平面时,所求面积最大。

三、解答题：（本大题共6小题，共70分）

17．（本大题10分）（1）不是，假设是在上的生成函数，则存在正实数使得恒成立，令，得，与矛盾，

所以函数一定不是在上的生成函数…………5分

   （2）设，因为

所以，当且仅当且时等号成立，

即时

    而，

，

      ………………………10分

18．（Ⅰ）连接A₁C.

∵A₁B₁C₁－ABC为直三棱柱，

∴CC₁⊥底面ABC，

∴CC₁⊥BC.

       ∵AC⊥CB，

       ∴BC⊥平面A₁C₁CA. ……………1分

       ∴为与平面A₁C₁CA所成角，

.

∴与平面A₁C₁CA所成角为.…………4分

   （Ⅱ）分别延长AC，A₁D交于G. 过C作CM⊥A₁G 于M，连结BM，

       ∵BC⊥平面ACC­₁A₁，

∴CM为BM在平面A₁C₁CA内的射影，

       ∴BM⊥A₁G，

∴∠CMB为二面角B―A₁D―A的平面角，

       平面A₁C₁CA中，C₁C=CA=2，D为C₁C的中点，

       ∴CG=2，DC=1 在直角三角形CDG中，

，.

       即二面角B―A₁D―A的大小为.……………………8分

   （Ⅲ）取线段AC的中点F，则EF⊥平面A₁BD.

证明如下：

∵A₁B₁C₁―ABC为直三棱柱，

∴B₁C₁//BC，

∵由（Ⅰ）BC⊥平面A₁C₁CA，

∴B₁C₁⊥平面A₁C₁CA，

∵EF在平面A₁C₁CA内的射影为C₁F，

当F为AC的中点时，

C₁F⊥A₁D，∴EF⊥A₁D.

同理可证EF⊥BD，

∴EF⊥平面A₁BD.……………………12分

19．解:（1）从这5名学生中选出2名学生的方法共有种所选2人的血型为O型或A型的的情况共有种故所求概率为 ?…………6分

   （2） 至少有2名学生符合献血条件的对立事件是至多1人符合献血条件

则所求概率为 …………12分

20．解：（Ⅰ） 设C（x, y）,

∵ , ,  

∴ ,

∴ 由定义知，动点C的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为的椭圆除去与x轴的两个交点.

∴ .

∴ .

∴ W:   .………………… 2分

   （Ⅱ） 设直线l的方程为，

代入椭圆方程，得.

整理，得.         ①………………………… 5分

因为直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于

，

解得或.

∴ 满足条件的k的取值范围为 ………… 7分

   （Ⅲ）设P（x₁,y₁）,Q（x₂,y₂）,

则＝（x₁+x₂，y₁+y₂）,

由①得.                 ②

又                ③

因为，，

所以.……………………… 11分

所以与共线等价于.

将②③代入上式，

解得.

所以不存在常数k，使得向量与共线.…………………… 12分

21．（本大题12分）

   （1）n=1时，a₁=－4

∴

∴数列{a_n－4}为等比数列，公比为2，首项为a₁－4=－8 …………5分

∴   

∴  …………7分

（2）

   …………10分

相减得：

   ………………12分

22．解: 解：∵f′（x）＝4a₀x³＋3a₁x²＋2a₂x+a₃为偶函数。

∴a₀＝a₂＝0，

∴f（x）＝a₁x³＋a₃x

又当x＝－时，f（x）取得极大值…………2分

∴ 解得

∴f（x）＝x³－x，f′（x）＝2x²－1………………4分

⑵解：设所求两点的横坐标为x₁、x₂，

则（2x₁²－1）（2x₂²－1）＝－1

又∵x₁，x₂∈[－1，1]，

∴2x₁²－1∈[－1，1]，2x₂²－1∈[－1，1]

∴2x₁²－1，2x₂²－1中有一个为1，一个为－1，………………5分

    ∴x₁＝0，x₂＝±1，

    ∴所求的两点为（0，0）与（1，－）或（0，0）与（－1，）。………8分

⑶证明：易知sinx∈[－1，1]，cosx∈[－1，1]。

当0<x<时，f′（x）<0；当<x<1时，f′（x）>0。

∴f（x）在[0，]为减函数，在[，1]上为增函数，

又f（0）＝0，f（）＝－ ，f（1）＝－，

而f（x）在[－1，1]上为奇函数，

∴f（x）在[－1，1]上最大值为，最小值为－，

∴f（sinx）∈[－，]，f（cosx）∈[－，]，………………10分

∴|f（sinx）－f（cosx）|≤|f（sinx）|＋|f（cosx）|≤………………………………12分