摘要： =′(x)= 由xf′ ＞0在x＞0上恒成立. 从而g(x)= = 在x1＞0,x2＞0时. 于是f(x1)＜ 两式相加得到:f(x1)+f(x2)＜f(x1+x2) 中可知:g(x)= 由数学归纳法可知:xi＞0时, 有f(x1)+f(x2)+f(x3)+- +f(xn)＜f(x1+x2+x3+-+xn) 恒成立. 设f(x)=xlnx.则在xi＞0时 有x1lnx1+x2lnx2+-+xnlnxn＜(x1+x2+-+xn)ln(x1+x2+-+xn)恒成立. 令xn=-+xn=-+ 由Sn＜-+ Sn＞-+ (x1+x2+-+xn)ln(x1+x2+-+xn)<(x1+x2+-+xn)ln(1--+xn) ＜- (**) 由中.可知: -+ 于是:-+
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已知f（n）=（1-
）（1-
）（1-
）…（1-
），g（n）=
（1+
），其中n∈N*．
（1）分别计算f（1），f（2），f（3）和g（1），g（2），g（3）的值；
（2）由（1）猜想f（n）与g（n）（n∈N*）的大小关系，并证明你的结论．
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（1）分别计算f（1），f（2），f（3）和g（1），g（2），g（3）的值；
（2）由（1）猜想f（n）与g（n）（n∈N*）的大小关系，并证明你的结论．
（2009•大连二模）（I）已知函数f（x）=x-
，x∈(
，
)，P(x1，f(x1))，Q(x2，f(x2))是f(x)图象上的任意两点，且x1＜x2．
①求直线PQ的斜率kPQ的取值范围及f（x）图象上任一点切线的斜率k的取值范围；
②由①你得到的结论是：若函数f（x）在[a，b]上有导函数f′（x），且f（a）、f（b）存在，则在（a，b）内至少存在一点ξ，使得f′（ξ）=
成立（用a，b，f（a），f（b）表示，只写出结论，不必证明）
（II）设函数g（x）的导函数为g′（x），且g′（x）为单调递减函数，g（0）=0．试运用你在②中得到的结论证明：
当x∈（0，1）时，f（1）x＜g（x）．
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①求直线PQ的斜率kPQ的取值范围及f（x）图象上任一点切线的斜率k的取值范围；
②由①你得到的结论是：若函数f（x）在[a，b]上有导函数f′（x），且f（a）、f（b）存在，则在（a，b）内至少存在一点ξ，使得f′（ξ）=
| f(b)-f(a) |
| b-a |
| f(b)-f(a) |
| b-a |
（II）设函数g（x）的导函数为g′（x），且g′（x）为单调递减函数，g（0）=0．试运用你在②中得到的结论证明：
当x∈（0，1）时，f（1）x＜g（x）．
（2012•福建模拟）设函数f（x）的图象是由函数g(x)=cos2x+
sinxcosx-
的图象经下列两个步骤变换得到：
（1）将函数g（x）的图象向右平移
个单位，并将横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数h（x）的图象；
（2）将函数h（x）的图象上各点的纵坐标缩短为原来的m(0＜m＜
)倍（横坐标不变），并将图象向上平移1个单位，得到函数f（x）的图象．
（Ⅰ）求f（x）的表达式；
（Ⅱ）判断方程f（x）=x的实根的个数，证明你的结论；
（Ⅲ）设数列{an}满足a1=0，an+1=f（an），试探究数列{an}的单调性，并加以证明．
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（1）将函数g（x）的图象向右平移
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（2）将函数h（x）的图象上各点的纵坐标缩短为原来的m(0＜m＜
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（Ⅰ）求f（x）的表达式；
（Ⅱ）判断方程f（x）=x的实根的个数，证明你的结论；
（Ⅲ）设数列{an}满足a1=0，an+1=f（an），试探究数列{an}的单调性，并加以证明．