高2009级数学模拟练习题班次姓名一. 选择题:(本题共10道小题.每小题5分.共50分.每题只有一个正确的答案)1.设M.P是两个非空集合.定义M与P的差集为M-P={x——青夏教育精英家教网——

高2009级数学模拟练习题(理科)（二）

班次_____姓名________

一. 选择题：（本题共10道小题，每小题5分，共50分。每题只有一个正确的答案）

1.设M，P是两个非空集合，定义M与P的差集为M-P={x|xM且xp},则M-（M-P）等于（）A. P B. MP C. MP D. M

2.已知命题：不等式的解集为R；命题：为减函数. 则是成立的（）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

3.如果数列{a_n}满足是首项为1，公比为2的等比数列，则a₁₀₀等于（）A．2¹⁰⁰ B．2⁹⁹ C．2⁵⁰⁵⁰ D．2⁴⁹⁵⁰

4.若函数f(x)=asinx－bcosx在x=处有最小值－2，则常数a、b的值是（）

A．a=－1,b= B．a=1,b=－ C．a=,b=－1 D．a=－,b=1

5.已知向量，，若与共线，则等于( )

A．； B．； C．； D．；

6.定义在R上的偶函数满足，且在[-1，0]上单调递增，设，，，则大小关系是( )

A． B． C． D．

7. 函数的图象恒过点A，若点A在直线

上，其中m的最小值为（）A．7 B．8 C．9 D．10

8.已知倾斜角的直线过椭圆的右焦点Ｆ交椭圆于Ａ、Ｂ两点，Ｐ为右准线上任意一点，则为（）Ａ．钝角Ｂ．直角Ｃ．锐角Ｄ．都有可能

9. 如图，在矩形中，是的

中点，沿将折起，使二面角为，

则四棱锥的体积是（）.

A. B. C. D.

10. 已知函数，且，的导函数，函数的图象如图所示.

则平面区域所围成的面积是( ) A．2 B．4 C．5 D．8

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）把答案填在答题卷的相应位置上.)

11. 函数的反函数的定义域为 .

12.已知直线l₁：，l₂过点P（? 3，1），且l₁到l₂的角为45，则l₂的方程为_______.

13.已知在同一个球面上,若,则两点间的球面距离是

14. 在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图

为基础设计的.弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个

大正方形（如图）.　如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，

直角三角形中较小的锐角为，那么sin2的值等于 .

15. 设O是坐标原点，F是抛物线的焦点，A是抛物线上的一点，与x轴正向的夹角为60°，则为 .

16. 若是以2为周期的偶函数，当时，，在区间内关于的方程（且）有4个不同的根，则的取值范围是 .

三.解答题：（本题共6个小题，共76分。要求写出详细的解答过程）

17.（本小题满分13分）设向量，其中.（1）求的取值范围；

（2）若函数的大小.

18.(本小题满分13分）随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润（单位：万元）为．

（1）求的分布列；（2）求1件产品的平均利润（即的数学期望）；

（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为，一等品率提高为．如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？

19.（本小题满分13分）已知函数.

（1）设{a_n}是正数组成的数列，前n项和为S_n，其中a₁=3.若点(n∈N*)在函数y=f′(x)的图象上，求证：点（n,S_n）也在y=f′(x)的图象上；

（2）求函数f(x)在区间（a-1,a）内的极值.

20. (本小题满分13分)

如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，,E，F分别是BC, PC的中点.

（1）证明：AE⊥PD;

（2）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为，求二面角E―AF―C的余弦值.

21．本小题满分12分）设椭圆中心在坐标原点，是它的两个顶点，直线与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点．

（1）若，求的值；

（2）求四边形面积的最大值．

22.（本小题满分12分）已知数列的首项，，．

（1）求的通项公式；

（2）证明：对任意的，，；

（3）证明：．

1、B 2、B 3、D 4、D 5、A 6、D 7、B 8、C 9、A 10、B

11、12、13、14、15、16、-，0

17. 解：（1）∵，

∴，

∵，∴，∴，

∴。………………………………….6分

（2）∵，

，

∴，

∵，∴，∴，∴…….12分

18、的所有可能取值有6，2，1，-2；，

，

故的分布列为：

6

2

1

-2

0.63

0.25

0.1

0.02

（2）

（3）设技术革新后的三等品率为，则此时1件产品的平均利润为

依题意，，即，解得所以三等品率最多为

19、(Ⅰ)证明：因为所以′(x)=x²+2x,

x

(-∞,-2)

-2

(-2,0)

0

(0,+∞)

f′(x)

+

0

-

0

+

f(x)

ㄊ

极大值

ㄋ

极小值

ㄊ

由点在函数y=f′(x)的图象上,

又所以

所以,又因为′(n)=n²+2n,所以,

故点也在函数y=f′(x)的图象上.

(Ⅱ)解:,

由得.

当x变化时,?的变化情况如下表:

注意到,从而

①当,此时无极小值；

②当的极小值为,此时无极大值；

③当既无极大值又无极小值.

20、（Ⅰ）证明：由四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，可得△ABC为正三角形.

因为 E为BC的中点，所以AE⊥BC.

又 BC∥AD，因此AE⊥AD.

因为PA⊥平面ABCD，AE平面ABCD，所以PA⊥AE.

而 PA平面PAD，AD平面PAD 且PA∩AD=A，

所以 AE⊥平面PAD，又PD平面PAD.

所以 AE⊥PD.

（Ⅱ）解：设AB=2，H为PD上任意一点，连接AH，EH.

由（Ⅰ）知 AE⊥平面PAD，

则∠EHA为EH与平面PAD所成的角.

在Rt△EAH中，AE=，

所以当AH最短时，∠EHA最大，

即当AH⊥PD时，∠EHA最大.

此时 tan∠EHA=

因此 AH=.又AD=2，所以∠ADH=45°，

所以 PA=2.

解法一：因为 PA⊥平面ABCD，PA平面PAC，

所以平面PAC⊥平面ABCD.

过E作EO⊥AC于O，则EO⊥平面PAC，

过O作OS⊥AF于S，连接ES，则∠ESO为二面角E-AF-C的平面角，

在Rt△AOE中，EO=AE?sin30°=，AO=AE?cos30°=,

又F是PC的中点，在Rt△ASO中，SO=AO?sin45°=,

又

在Rt△ESO中，cos∠ESO=

即所求二面角的余弦值为

21、（Ⅰ）解：依题设得椭圆的方程为，

直线的方程分别为，．??????????????????????????????????? 2分

如图，设，其中，

且满足方程，

故．①

由知，得；

由在上知，得．

所以，

化简得，

解得或．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分

（Ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点到的距离分别为，

．??????????????????????????????????????????????????? 9分

又，所以四边形的面积为

，

当，即当时，上式取等号．所以的最大值为．?????????????????????? 12分

解法二：由题设，，．

设，，由①得，，

故四边形的面积为

????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 9分

，

当时，上式取等号．所以的最大值为． 12分

22、解法一：（Ⅰ），，，

又，是以为首项，为公比的等比数列．

，．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

，原不等式成立．

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，对任意的，有

．

取，

则．

原不等式成立．

解法二：（Ⅰ）同解法一．

（Ⅱ）设，

则

，

当时，；当时，，

当时，取得最大值．

原不等式成立．

（Ⅲ）同解法一．