2009届高三调研考试数学试题(理科)
2009.02
本卷分选择题和非选择题两部分，满分150分.考试用时间120分钟.
注意事项：
1． 考生务必将自己的姓名、班级、学校用蓝、黑墨水钢笔签字笔写在答题卷上；
2． 选择题、填空题每小题得出答案后，请将答案填写在答题卷相应指定位置上。答在试题卷上不得分；
3． 考试结束，考生只需将答题案交回。
参考公式：锥体的体积公式
，其中
是锥体的底面积，
是锥体的高．
如果事件
、
互斥，那么
．
如果事件、相互独立，那么
．
第一部分 选择题(共40分)
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合
，则
=
A．
B．
C．
D．
2. 复数
的共轭复数为
A.－
i B.－
C.1－2i D.1+2i
3. 右图是2008年韶关市举办“我看韶关改革开放三十年”演讲比赛大赛上,
七位评委为某位选手打出的分数的茎叶图,去掉一个最高分和一个最低分后,
所剩数据的平均数和方差分别为
A.5; 1.6 B.85;
4.如图, 共顶点的椭圆①,②与双曲线③,④的离心率分别
为
,其大小关系为
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
5. 若
=a，
=b，则∠AOB平分线上的向量
为
A.
B.
()，由确定
C.
D.
6. 电流强度
（安）随时间
（秒）变化的函数
的图象如右图所示，则当
秒时，电流强度是
A．
安
B．
安
C．
安
D．
安
7.
已知函数
，若实数
是方程
的解，且
，则
的值为
A．恒为正值 B．等于
C．恒为负值 D．不大于
8. 已知棱长为3的正方体
，长为2的线段
的一个端点
在
上运动，另一个端点
在底面
上运动.则线段中点
的轨迹与正方体的表面所围成的较小的几何体的体积为
A．
B．
C．
D．
第二部分 非选择题(共110分)
二.填空题(每小题5分,共30分)
9. 下面框图表示的程序所输出的结果是___________
(说明，
是赋值语句，也可以写成
，或
)
10.
已知
展开式的第7项为
，则实数x的值是______.
11.
斜率为
直线l与椭圆
交于
、
两点，线段
的中点为，直线
斜率为
，则
的值等于____________
12.
在等差数列
中,若
,则
将此命题类比到等比数列中应是:在等比数列中,若_________,则_____________________________________________.
第13至15题，从3题中选答2题，多选按前2题记分
13.在极坐标系中，圆心在
且过极点的圆的方程为______________.
14. 如图所示，圆O的直径AB＝6，C为圆周上一点，BC＝3，过C作圆的切线
，则点A到直线的距离AD为
.
15. 如果关于
的不等式
的解集是全体实数，则
的取值范围是
.
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16.(本题满分12分)
在
中，
为角
所对的三边，已知
．
（Ⅰ）求角
的值；
（Ⅱ）若
，设内角
为，周长为
，求
的最大值.
17.(本题满分12分)
有人预测:在2010年的广州亚运会上,排球赛决赛将在中国队与日本队之间展开,据以往统计,
中国队在每局比赛中胜日本队的概率为
,比赛采取五局三胜制,即谁先胜三局谁就获胜,并停止比赛.
（Ⅰ）求中国队以3:1获胜的概率;
（Ⅱ）.设
表示比赛的局数,求的期望值.
18. (本题满分13分)
已知动圆过定点
，且与定直线
相切.
（I）求动圆圆心的轨迹C的方程；
（II）若、是轨迹C上的两不同动点，且
. 分别以、为切点作轨迹C的切线，设其交点Q，证明
为定值.
19. (本题满分14分)
如图，矩形，
⊥平面于点，，分别是
、
的中点.
（Ⅰ）求证：//平面
;
（Ⅱ）设平面
与平面所成的二面角为θ，能否确定θ，使得直线是异面直线与的公垂线？若能确定，求出θ的值，若不能确定，说明理由.
20．(本题满分14分)
已知函数
(其中
)
（I）若当
恒成立,求
的取值范围；
（II）若
,求
无零点的概率;
(Ⅲ) 若对于任意的正整数
，当
时，都有
成立,则称这样是
函数.现有函数
,试判断
是不是函数?并给予证明.
21. (本题满分14分)
已知函数
（I）求
（II）已知数列满足
,
,求数列的通项公式;
(Ⅲ) 求证:
.
2009年韶关市高三调研测试数学试题(理科)答案及评分标准
二、填空题 9. 
，
10. 
，
11. －
，
12.，2,
13. 
14.
,15. 
三、解答题
16.(本题满分13分)
解：（Ⅰ） ， 
……………………..2分
………………………………………………………4分
（Ⅱ）
…………6分
同理：
………………………………8分
…………………………………………………………10分
………………………………………………11分
……………………13分
17. (本题满分12分)
(Ⅰ)设中国队以3:1获胜的事件为A.
若中国队以3:1获胜,则前3局中国队恰好胜2局,然后第4局胜. ………………………2分
所以, 
.. ………. ………………………………………5分
(Ⅱ)
;.. ………. ………………………………………7分
.. ………. ………………………………………9分
.. ………………………………………10分
所以所求的的期望值
……………………………12分
18. (本题满分13分)
解：（I）依题意，圆心的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线上……2分
因为抛物线焦点到准线距离等于4 所以圆心的轨迹是
（II）解法一：
由已知，
故 
将（1）式两边平方并把
（3）
解（2）、（3）式得
，
且有
…………8分
抛物线方程为
所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是
……11分
所以为定值，其值为0. …………13分
解法二：
由已知N（0，2） 
， 
…………8分
后面解法和解法一相同
19.(本题满分12分)
20.(本题满分14分)
解(1)据题意: 
可行域如图(暂缺)
的几何意义是定点
到区域内的点
连线的斜率,
又
故的取值范围为
(2)当有零点时,
,满足条件为
由抛物线的下方与
围成的区域面积
由直线
围成的区域面积
故有零点的概率
无零点的概率为
(3)是函数.
证明： 
符合条件．
因为
，
同理：
；
．
所以， 符合条件．
21. 解:(
)因为
所以设S=
（1）
S=
……….(2)
(1)+(2)得:
=
, 所以S=3012
(
)由两边同减去1,得
所以
,
所以
,
是以2为公差以
为首项的等差数列,
所以
因为
所以
所以
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