江西省南昌市2008―2009学年度高三第二轮复习测试(四)数学试题——青夏教育精英家教网—

江西省南昌市2008―2009学年度高三第二轮复习测试（四）

数学试题

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知集合若M∩N={-3}，则a的值是（）

A．-1 B．0 C．1 D．3

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2．函数的定义域是（）

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A．（，+∞） B．（，1） C．（，） D．（-∞，）

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3．将直线沿x轴向左平移1个单位，所得直线与圆

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相切，则实数的值为（）

A．0或10 B．-2或8 C．-3或7 D．1或11

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4．设S_n为数列{a_n}前n项和，且a_n=-2n+1，则数列的前11项和为（）

A．-45 B．-50 C．-55 D．-66

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5．已知函数（a、b为常数a≠0，x∈R）在处取得最小值，

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则函数是（）

A．偶函数且它的图象关于点（π，0）对称

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B．偶函数且它的图象关于点（，0）对称

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C．奇函数且它的图象关于点（，0）对称

D．奇函数且它的图象关于点（π，0）对称

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6．椭圆与直线交于A、B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜

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率为，则的值为（）

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A． B． C． D．

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7．二元函数的定义域记为，则函数=[xlin（y-x）]

的定义域D所表示的平面区域为（）

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8．定义域为R的函数满足f（-4-x）=f（x+8），且y=f（x+8）为偶函数，则（）

A．是周期为4的周期函数 B．是周期为8的周期函数

C．是周期为12的周期函数 D．不是周期函数

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9．在正方体上任意选择两条棱，则这两条棱所在直线成异面直线的概率为（）

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A． B． C． D．

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10．如图，△ABC与△ABD分别是等腰直角三角形与

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正三角形，当BC与平面ABD所成的角是arcsin

时，锐二面角C―AB―D等于（）

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A． B．

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C． D．

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11．（理）抛掷两个骰子，至少有一个4点或5点出现时，就这这些试验成功，则在10次试

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验中，成功次数的期望是（）

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A． B． C． D．

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（文）某路段监察站监控录像显示，在某时段内，有

1000辆汽车通过该站，现在随机抽取其中的200辆

汽车进行车速分析，分析的结果表示为如右图的频

率分布直方图，则估计在这一时段内通过该站的汽

车中速度不小于90kn/h的约有（）

A．400辆 B．300辆

C．200辆 D．100辆

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12．双曲线的左右焦点分别为F₁、F₂，点P_n（x_n，y_n）（n=1，2，3）在其右支

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上，且满足，则x₂₀₀₉的值是（）

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A．4017 B．4018 C．4017 D．4018

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二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上）

13．已知的展开式中项的系数为3，则实数a的值为。

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14．一个正方体表面展开图中，五个

正方形的位置如图阴影所示，第

六个正方形在编号1到5的位置，

则所有可能位置的编号是。

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15．若正整数n使得作竖式加法：n+（n+1）+（n+2）时均不产生进位现象，则称n为“连

绵数”，如12是连绵数，因为12+13+14不产生进位现象，但13不是连绵数，那么小于

1000的连绵数的个数为（用数字回答）；

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16．给出下列五个命题：

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① 不等式x²-4ax+3a²＜0的阶级为{x|a＜x＜3a；

② 若函数y=f（x+1）为偶函数，则y=f（x）的图像关于x=1对称；

③ 若不等式|x-4|+|x-3|≤a的解集不为空集，则有a≥1；

④ 函数y=f（x）的图像与直线x=a至多有一个交点；

⑤若角α，β满足cosα?cosβ=1，则sin（α+β）=0。

其中错误命题的序号是。

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三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本题12分）

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已知函数的图象按向量平移得到函数

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的图象。

（1）求实数a，b的值。

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（2）设函数，求函数的单调增区间。

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18．（本题12分）

（理）现有A、B、C、D四个城市，它们各有一个著名的旅游景点，依次记为a、b、c、

20090422

条线把左、右全部连接起来，构成“一一对应”，已知连对的得2分，连错的得0分

（1）求该爱好者得分的分布列；

（2）求所得分的数学期望

（文）现有A、B、C、D、E共5个口袋，每个口袋装有大小和质量均相同的4个红球和

2个黑球，现每次从其中一个口袋中摸出3个球，规定：若摸出的3个球恰为2个红球

和1个黑球，则称为最佳摸球组合。

（1）求从口袋A中摸出的3个球为最佳摸球组合的概率；

（2）现从每个口袋中摸出3个球，求恰有3个口袋中摸出的球是最佳摸球组合的概率。

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19．（本题12分）

如图，在长方体ABCD―A₁B₁C₁D₁中，E、P分别是BC、A₁D₁的中点，M、N分别是

AE、CD₁的中点，AD=AA₁=a，AB=2a。

（1）求证MN∥ADD₁A₁；

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（2）求二面角P―AE―D的大小；

（3）求三棱锥P―DEN的体积。

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20．（本题12分）

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（理）已知函数

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（1）若a=-2e时，求函数的单调区间和极值；

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（2）若函数=+在[1，4]是上减函数，求实数a的取值范围。

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（文）已知函数=在区间[0，1]上单调递增，在区间上单调

递减，

（1）求a的值；

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（2）若点A（x₀，f（x₀））在函数的图象上，求证：点A关于直线x=1的对称点B

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也在函数的图象上；

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（3）是否存在实数b，使得函数的图象与函数的图象恰有3个交点，

若存在，请求出实数b的值；若不存在，试说明理由。

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21．（本题12分）

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（理）已知正项数列{a_n}前n项和为S_n，且

（1）求数列{a_n}的通项公式；

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（2）若b_n=2ⁿ?a_n，且数列{b_n}的前n项和为T_n，求

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（文）已知正项数列{a_n}前n项和为S_n，且

（1）求数列{a_n}的通项公式；

20090422

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22．（本题14分）

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已知椭圆上任一点P，由点P向x轴作垂线段PQ，垂足为Q，点M在PQ

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上，且，点M的轨迹为C。

（1）求曲线C的方程；

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（2）过点D（0，-2）作直线l与曲线交于A、B两点，设N是过点（0，）且平行

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于x轴的直线上一动点，满足（O为原点），问是否存在这样的直

线l，使得四边形OANB为矩形？若存在，求出直线l的方程；若不存在请说明理

由。

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一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分）

1．A 2．B 3．C 4．A 5．D 6．C 7．B 8．C 9．A

10．B 11．（理）C（文）B 12．D

二、填空题（本大题共4小题，每题4分，共16分）

13． 14．②③ 15．47 16．□

三、解答题（本大题共6小题，共计76分）

17．解：

（1）依题意函数的图象按向量平移后得

………………………2分

即= ………………………4分

又

比较得a=1，b=0 ………………………6分

（2）

= ………………………9分

∴的单调增区间为[，] ……………………12分

18．解：

（1）设连对的个数为y，得分为x

因为y=0，1，2，4，所以x=0，2，4，8.

于是x的分布列为

……9分

（2）Ex=0×+2×+4×+8×=2

即该人得分的期望为2分。 ……………………12分

（文）

（1）从口袋A中摸出的3个球为最佳摸球组合即为从口袋A中摸出2个红球和一个黑球

其概念为 ……………………6分

（2）由题意知：每个口袋中摸球为最佳组合的概率相同，从5个口袋中摸球可以看成5

次独立重复试验，故所求概率为………………………12分

19．解法一：以D为原点，DA，DC，DD₁

所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建

立空间直角坐标系D―xyz，则

A（a，0，0）、B（a，2a，0）、

C（0，2a，0）、A₁（a，0，a）、

D₁（0，0，a）。E、P分别是BC、A₁D₁

的中点，M、N分别是AE、CD₁的中点

∴……………………………………2分

（1）⊥面ADD₁A₁

而=0，∴⊥，又∵MN面ADD₁A₁，∴MN∥面ADD₁A₁；………4分

（2）设面PAE的法向量为，又

则又

∴=（4，1，2），又你ABCD的一个法向量为=（0，0，1）

∴

所以二面角P―AE―D的大小为 ………………………8分

（3）设为平面DEN的法向量⊥，⊥

又=（），=（0，a，），（，0，a）

∴所以面DEN的一个法向量=（4，-1，2）

∵P点到平面DEN的距离为

∴

所以 ……………………12分

解法二：

（1）证明：取CD的中点为K，连接

∵M，N，K分别为AE，CD₁，CD的中点

∴MK∥AD，ND∥DD₁，∴MK∥面ADD₁A₁，NK∥面ADD₁A₁

∴面MNK∥面ADD₁A₁，∴MN∥面ADD₁A₁， ………………………4分

（2）设F为AD的中点，∵P为A₁D₁的中点

∴PF∥DD₁，PF⊥面ABCD

作FH⊥AE，交AE于H，连结PH，则由三垂

线定理得AE⊥PH，从而∠PHF为二面角

P―AE―D的平面角。

在Rt△AAEF中，AF=，EF=2，AE=，

从而FH=

在Rt△PFH中，tan∠PHF=

故：二面角P―AE―D的大小为arctan

（3）

作DQ⊥CD₁，交CD₁于Q，

由A₁D₁⊥面CDD₁C₁，得A₁D₁⊥DQ，∴DQ⊥面BCD₁A₁。

在Rt△CDD₁中，

∴ ……………………12分

20．解：（理）

（1）函数的定义域为（0，+）

当a=-2e时， ……………………2分

当x变化时，，的变化情况如下：

（0，）

（，+）

―

＋

ㄋ

极小值

ㄊ

由上表可知，函数的单调递减区间为（0，）

单调递增区间为（，+）

极小值是（）=0 ……………………6分

（2）由 ……………………7分

又函数为[1，4]上单调减函数，

则在[1，4]上恒成立，所以不等式在[1，4]上恒成立。

即在,[1，4]上恒成立 ……………………10分

又=在[1，4]上为减函数

∴的最小值为

∴ ……………………12分

（文）（1）∵函数在[0，1]上单调递增，在区间上单调递

减，

∴x=1时，取得极大值，

∴

∴4-12+2a=0a=4 ………………………4分

（2）A（x₀，f（x₀））关于直线x=1的对称点B的坐标为（2- x₀，f（x₀）

∴A关于直线x=1的对称点B也在函数的图象上 …………………8分

（3）函数的图象与函数的图象恰有3个交点，等价于方程

恰有3个不等实根，

∵x=0是其中一个根，

∴方程有两个非零不等实根

……………………12分

21．解：（理）（1）由已知得：

∵ ①…………………2分

∴ ②

②―①

即

又

∴ ……………………5分

∴{a_n}成等差数列，且d=1，又a₁=1，∴…………………6分

（2）∵

∴

∴ …………………8分

两式相减

∴ ……………………10分

∴ ……………………12分

（文）（1）由已知得：

∴

∵ ①…………………2分

∴ ②

②―①

即

又

∴ ……………………5分

∴{a_n}成等差数列，且d=1，又a₁=1，∴…………………6分

（2）∵

∴

∴ …………………8分

两式相减

∴ ……………………10分

∴ ……………………12分

22．解：（1）

设M（x，y）是曲线C上任一点，因为PM⊥x轴，

所以点P的坐标为（x，3y） …………………2分

点P在椭圆，所以

因此曲线C的方程是 …………………5分

（2）当直线l的斜率不存在时，显然不满足条件

所以设直线l的方程为与椭圆交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），N点所在直线方

程为

，由得

……………………6分

由△=………………8分

∵,所以四边形OANB为平行四边形 …………………9分

假设存在矩形OANB，则

所以

即 ……………………11分

设N（），由，得

，

即N点在直线

所以存在四边形OANB为矩形，直线l的方程为 ……………………14分

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