山东省日照实验高中2007级高二下学期模块考试
数学试卷（理科）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题（每小题5分，共60分，将答案填涂到答题卡上）
1.复数等于
A．1 B．－1 C． D．
2.观察按下列顺序排列的等式：，，，，，猜想第个等式应为
A． B．
C． D．
3.函数处的切线方程为
A． B． C． D．
相同，则不同的涂色方法种数是
A 36 B 72 C 24 D 54
5.用反证法证明某命题时，对结论：“自然数中恰有一个偶数”正确的反设为
Ａ．都是奇数 Ｂ．都是偶数
Ｃ．中至少有两个偶数 Ｄ．中至少有两个偶数或都是奇数
6.两曲线，所围成图形的面积等于
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
7.函数 (,则
A． B.
C． D.大小关系不能确定
8.已知函数则的值为
A．-20 B．-10 C．10 D．20
9.在等差数列中，若，公差，则有，类比上述性质，在等比数列中，若，公比，则，，，的一个不等关系是
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
10.函数图象如图，则函数 的单调递增区间为
C． D．
11.已知函数，且，则等于
A． B． C． D．
12.设函数，且，，则下列结论不正确的是
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每小题4分 ，共16分，将答案填在答题纸上）
13.若复数(a2-3a+2)+(a-1)i是纯虚数，则实数a的值为_______.
14.从0，1，2，3，4，5六个数字中每次取3个不同的数字，可以组成 个无重复数字的3位偶数?
15.若函数在区间上是单调递增函数，则实数的取值范围是 ．
16.观察下列等式：（说明：）
……………………………………
可以推测，当k≥2（）时， ，
三、解答题（本大题共6小题，满分74分。解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤）
17.若复数，求实数使成立.（其中为的共轭复数）
18.已知函数（m为常数，且m>0）有极大值9.
（1）求m的值；
（2）若斜率为-5的直线是曲线的切线，求此直线方程.
19.在数列中，，且前项的算术平均数等于第项的倍．
（1）写出此数列的前项；
（2）归纳猜想的通项公式，并用数学归纳法证明．
20.某市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是元，销售价是元，月平均销售件.通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果产品的销售价提高的百分率为，那么月平均销售量减少的百分率为.记改进工艺后，旅游部门销售该纪念品的月平均利润是（元）.
(1)写出与的函数关系式；
(2)改进工艺后，确定该纪念品的售价，使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大.
21.设M是由满足下列条件的函数构成的集合：“①方程有实数根；
②函数的导数满足.”
（1）判断函数是否是集合M中的元素，并说明理由；
（2）集合M中的元素具有下面的性质：若的定义域为D，则对于任意
[m，n]D，都存在[m，n]，使得等式成立”，
试用这一性质证明：方程只有一个实数根.
22. 已知，，直线与函数、的图象都相切，且与函数的图象的切点的横坐标为.
(Ⅰ)求直线的方程及的值；
(Ⅱ)若(其中是的导函数)，求函数的最大值；
(Ⅲ)当时，求证：.
日照实验高中2007级高二下学期模块考试
数学试卷答题纸（理科）
题号
二
17
18
19
20
21
22
合计
得分
二、填空题
13.____________________________. 14. _____________________________.
15. ____________________________. 16. _____________ , ____________.
三、解答题
17.解：
18.解：
19.解：
20解
21.解：
22.解：
ABABD DCAAD AC
13. 2； 14.52； 15. ； 16 ，0 17. 或
18. 解：(Ⅰ) f’(x)＝3x2+2mx－m2=(x+m)(3x－m)=0,则x=－m或x=m,
当x变化时，f’(x)与f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞,－m)
－m
(－m,)
(,+∞)
f’(x)
+
0
－
0
+
f (x)
极大值
极小值
从而可知，当x=－m时，函数f(x)取得极大值9，
即f(－m)＝－m3+m3+m3+1=9,∴m＝2.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，f(x)=x3+2x2－4x+1,
依题意知f’(x)＝3x2＋4x－4＝－5，∴x＝－1或x＝－.
又f(－1)＝6，f(－)＝，
所以切线方程为y－6＝－5(x＋1),或y－＝－5(x＋)，
即5x＋y－1＝0，或135x＋27y－23＝0.
19. 解：（1）由已知，，分别取，得，，，
；
所以数列的前5项是：，，，，；
（2）由（1）中的分析可以猜想．
下面用数学归纳法证明：
①当时，猜想显然成立．
②假设当时猜想成立，即．
那么由已知，得，
即．所以，
即，又由归纳假设，得，
所以，即当时，公式也成立．
当①和②知，对一切，都有成立．
20. 解: (Ⅰ)改进工艺后，每件产品的销售价为，月平均销售量为件，则月平均利润（元），
∴与的函数关系式为 .
(Ⅱ)由得，（舍）,
当时；时，
∴函数 在取得最大值.
故改进工艺后，产品的销售价为元时，旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大.
21. 解：（1）因为，
所以满足条件
又因为当时，，所以方程有实数根0.
所以函数是集合M中的元素.
（2）假设方程存在两个实数根），
则，
不妨设，根据题意存在数
使得等式成立
因为，所以
与已知矛盾，所以方程只有一个实数根.
22. 解：(Ⅰ)，.∴直线的斜率为，且与函数的图象的切点坐标为. ∴直线的方程为. 又∵直线与函数的图象相切,
∴方程组有一解. 由上述方程消去，并整理得
①
依题意，方程①有两个相等的实数根，
解之，得或 .
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，
. .
∴当时，，当时，.
∴当时，取最大值，其最大值为2.
(Ⅲ) .
， ， .
由(Ⅱ)知当时， ∴当时，，
. ∴