甘肃省张掖市2009年普通高中高三第一次模拟考试数学文科
(满分:150分 时间:120分钟)
一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）．
1.“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2. 的各项系数之和为16，则展开式中二项式系数最大的项是（ ）
A．6 B．6 C． D． 或4
3.某林场有树苗30000棵，其中松树苗4000棵．为调查树苗的生长情况，采用 分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为（ ）
A．30 B．25 C．20 D．15
4.若，则下列不等式① a+b<ab；② |a|>|b|；③ a<b；④ 中，正确的不等式有（ ）
A.①② B.①④ C.②③ D.②④
5.过点与圆相交的所有直线中，被圆截得的弦最长时的直线方程是（ ）
A. B. C. D.
6.集合A=｛2,4,6，8,10｝,集合B=｛1,3,5，7,9｝,从集合A中任选一个元素a,从集合B中任选一个元素b,b<a的概率是（ ）
A. B.
7. 函数的图象过原点且它的导函数的图象是如图所示的一条直线，则的图象的顶点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8.正三棱柱的底面边长和侧棱长均为2，分别为、的中点，则与所成角的余弦值为（ ）
A. 0 B. C. D.
9.给出定义：连接平面点集内任意两点的线段中，线段的最大长度叫做该平面点集的长度．已知平面点集M由不等式组给出，则点集M的长度是（ ）
A. B. C. D.
11.有限数列，它的前n项的和为Sn，定义为A的“凯森和”，若有99项的数列的“凯森和”为1000，则有100项的数列1，的“凯森和”为（ ）
A．991 B．990 C．1000 D．999
12. 已知F1、F2为椭圆E的左、右两个焦点，抛物线C以F1为顶点，F2为焦点,设P为椭圆与抛物线的一个交点，如果椭圆的离心率e满足，则e为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）.
13. 已知向量，若与垂直，则 .
14. 按ABO血型系统学说，每个人的血型为A，B，O，AB型四种之一，依血型遗传学,当且仅当父母中至少有一人的血型是AB型时，子女的血型一定不是O型，若某人的血型的O型，则父母血型的所有可能情况有 种. 15. 函数y=ax2-2x的图像上有且仅有两个点到x轴的距离等于1,则a的取值范围是 .
16.函数的图象为，给出如下结论：①图象关于直线对称；②图象关于点对称；③函数在区间内是增函数；④由的图角向右平移个单位长度可以得到图象．
其中正确的是 （写出所有正确结论的编号）．
三．解答题(本大题共6小题,其中第17小题10分,18―22小题每小题12分, 共70分).
17.已知f(x)=
（1）求f(x)的最小正周期及最大值；
（2）求函数f(x)的单调递增区间.
18.在一次篮球练习课中，规定每人投篮5次，若投中2次就称为“通过” ，若投中3次就称为“优秀”并停止投篮。已知甲每次投篮投中概率是.
(1)求甲恰好投篮3次就“通过”的概率；
(2)求甲投篮成绩“优秀”的概率.
19. 如图，AB是⊙O的直径，PA垂直⊙O所在的平面，C为⊙O上一点，H为PC的中点，已知AB=2，AC=，二面角
P―BC―A的大小为．
（1）求证：面PBC⊥面PAC；
（2）求AB与面PBC所成的角的正弦；
（3）求点P到平面ABH的距离.
20.已知数列的前项和为，，且（为正整数）.
（1）求数列的通项公式；
（2）记S=，若对任意正整数，恒成立，求实数的最大值.
21.已知双曲线C：（a>0，b>0）的两个焦点为F1(-2,0)和F2(2,0),点P(3, )在曲线C上.
（1）求双曲线C的方程；
（2）设O为坐标原点，过点Q (0,2)的直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，若△OEF的面积为求直线l的方程
22.设函数f(x)=x3+ax2－a2x+m(a>0).
（1）求函数f(x)的单调区间；
（2）若函数f(x)在x∈[－1，1]内没有极值点，求a的取值范围；
（3）若对任意的a∈[3,6]，不等式f(x)≤1在x∈[－2,2]上恒成立，求m的取值范围.
2009年张掖市普通高中高三联合考试
文 科 数 学 参 考 答 案
一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）．
BACBCD ABBCAB
二.填空题（本大题共四小题，每小题5分，共20分）
13. 2 14. 9 15. a<-1或a=0或a>1 16. ①②③
三．解答题(本大题共6小题,其中第17小题10分,18―22小题每小题12分, 共70分).
17. 解:（1）f(x)=
…………………………………………………………………4分
∴
……………………………………………………………………6分
（2）由y=f(x)递增2kπ－(k∈Z) …………………8分
解得：kπ－(k∈Z)
故递增区间为：（k－，k+）(k∈Z). ………………………………10分
18. 解：（1）前2次中恰有一次投中且第3次也投中，
∴………5分
（2）……………………12分
19. 解：（1）证明：
面PBC⊥面PAC. ……………………………………………………………4分
（2）由（1）知：BC⊥面PAC二面角P―BC―A平面角为∠PCA=.
则AH⊥PC，易知，AH⊥面PBC；
∴BH为AB在面PBC上射影.
∴∠ABH即为AB与面PBC所成的角. …………6分
可求：AH=AC?sin=
故在△AHB中，sin∠ABH= …………8分
(3)设P到面ABH的距离为d，
则 =d=??AH?BH?d=???d.
=?BC=?AH?PH?BC=????1．
由=可得d=. ……………………………………………12分
20. 解:（1）， ①
当时，. ②
由 ① - ②，得.
. …………………………………………………… 3分
又 ，，解得 .
数列是首项为1，公比为的等比数列.
（为正整数）. …………………………………6分
（2）由（1）知， . ………… 8分
由题意可知，对于任意的正整数，恒有，解得 .
数列单调递增， 当时，数列中的最小项为，
必有，即实数的最大值为. ………………………………12分
21. 解:(1)解法1：依题意a2+b2=4，得双曲线方程为（0＜a2＜4）
将点（3，）代入上式，得.解得a2=18（舍去）或a2＝2，
故所求双曲线方程为 ………………………………………6分
解法2：依题意得，双曲线的半焦距c=2.
2a=|PF1|－|PF2|=
∴a2=2，b2=c2－a2=2.
∴双曲线C的方程为
(2)解法1：依题意，可设直线l的方程为y=kx+2，代入双曲线C的方程并整理得 (1－k2)x2－4kx－6=0. ①
∵直线I与双曲线C相交于不同的两点E、F,
∴
∴k∈(－)∪(1,). ② …………………………………8分
设E(x1,y1),F(x2,y2)，则由①式得x1+x2=于是
|EF|=
=
又原点O到直线l的距离d＝,
∴SΔOEF=
若SΔOEF＝，即解得k=±,满足②.故满足条件的直线l有两条，其方程分别为y=和
……………………………………………………………………………12分
22. 解：（1）∵f′(x)=3x2+2ax－a2=3(x－)(x+a),
又a>0，∴当x<－a或x>时f′(x)>0；
当－a<x<时，f′(x)<0.
∴函数f(x)的单调递增区间为（－∞，－a），(，+∞)，单调递减区间为
(－a，). ……………………………………………………………………4分
（2）由题设可知，方程f′(x)=3x2+2ax－a2=0在[－1，1]上没有实根
∴，解得a>3. …………………………………………………8分
（3）∵a∈[3,6]，∴由（Ⅰ）知∈[1，2]，－a≤－3
又x∈[－2,2]
∴f(x)max=max{f(－2),f(2)}
而f(2)－f(－2)=16－4a2<0
∴f(x)max=f(－2)=－8+4a+2a2+m ………………………………………10分
又∵f(x)≤1在[－2，2]上恒成立
∴f(x)max≤1即－8+4a+2a2+m≤1
即m≤9－4a－2a2,在a∈[3，6]上恒成立
∵9－4a－2a2的最小值为－87
∴m ≤－87. …………………………………………………………12分