方程组表达：

转化为矩阵表示：=

  汇总：平面上任何一点通过矩阵变换后，都自己变成自己，称恒等变换，相应的矩阵称恒等变换矩阵，也称二阶单位矩阵，一般记为E

  1、能否有一个变换，将(x,y)→(kx,y)?存在的话，写出变换矩阵及几何意义。

  2、能否有一个变换，将(x,y)→(x,ky)?

3、能否有一个变换，将(x,y)→(k₁x,k₂y)?

方程组表示

转化为矩阵=，变换矩阵，将横坐标、宗坐标进行了伸缩（或伸压）变换，相应的称伸压矩阵

 3、伸压变换矩阵与恒等变换矩阵有什么类似与不同点？

例1、设四边形ABCD的四个顶点A(-1,0),B(1,0),C(1,1),D(-1,1),在矩阵变换作用下变为正方形，求a的值或范围

解：变换后点A^/(-a,0),B^/(a,0),C^/(a,1),D^/(-a,1),A^/B^/=B^/C^/,2|a|=1,a=±

练习：设A是纵坐标伸长为原来的3倍，横坐标变为压缩为原来的的变换；B是纵坐标伸长为原来的倍，横坐标变为压缩为原来的3变换。写出伸压变换A、B的矩阵

例2、⊙C：x²+y²=1在矩阵A=对应的伸压变换下变为一个椭圆，求此椭圆的方程（教材P16---例2）

思考：平面图形对应的方程f(x,y)=0横（纵）坐标变为原来的k倍，纵（横）坐标不变，得到的方程是什么？

练习：曲线y=cos2x经过伸压变换下变为新的曲线y=cosx，求变换T对应的矩阵M

五、小结：恒等与伸压变换的几何特征与矩阵表示

六、作业：教材：P33---1，2，3，4

[补充习题]

1、若直线y=4x-4在矩阵M对应的伸压变换下变成另一直线y=x-1,则M=_____

2、圆C：x²+y²=4在矩阵A=对应的伸压变换下为一贯饿椭圆，则此椭圆的方程为____

3、椭圆x²+=1在矩阵对应的伸压变换下变为一个圆，则a=______

4、曲线y=sinx经过变换T作用后变为新的曲线l:y=2sin()求对应的变换M

[补充习题解答]

1、；  2，；  3，±2；   4，M=

 [情况反馈]

第二课时    反射与旋转变换

[教学目标]

[教学重点、难点]变换的理论探究

[备注]本节是两节连上课，可以根据自身情况进行相应的调整

[教学过程]

写出下列几何意义中对应的坐标，并将此变换用矩阵表示，指出其变换矩阵。

点P(x,y)

(1)关于原点的对称点

P^/(-x,-y),→==，变换矩阵

(2)关于x轴的对称点

P^/(x,-y),→==，变换矩阵

(3)关于y轴的对称点

P^/(-x,y),→==，变换矩阵

   说明以上变换是将平面图形关于直线或定点对称，称反射变换，相应的矩阵称反射矩阵，定直线称反射轴，顶点称反射中心

  思考1：关于直线y=x及y=-x的反射矩阵分别是什么？（、）

  思考2：关于这些特殊直线或原点反射矩阵有什么规律？（一个对角线上的元素为0，另一个为或-1）

  例1、求直线y=4x在变换下得到的方程，并说明二者的几何关系

   解：设(x₀,4x₀)为直线y=4x上任意一点，经过变换后得到点(x,y),则根据：

==，于是，消去x₀得，x=4y，几何关系：关于直线y=x对称

练习1：求y=在变换作用下的方程。一般的，f(x,y)=0在作用下的方程是什么？

（x=,f(y,x)=0）

练习2：若y=x²(x≥0)在反射矩阵M作用下得到y=x²(x≤0) ，求反射矩阵M   ()

设P₁(x₁,y₁),P₂(x₂,y₂),P为其上一点，P(x,y),设=λ,则，在二阶非零矩阵作用下，点P₁、P₂、P的分别为(x₁^/,y₁^/),(x₂^/,y₂^/),(x^/,y^/)   则  

====，

P^/，于是，P₁^/、P₂^/、P共线，这说明点的共线性质不变。

同理，可以验证M()=λ₁M+λ₂M成立

这样原来是一次式，结果是一次式或常数，而一次式方程对应于一条直线，以上说明：在一个二阶非零矩阵作用下，直线变仍然变为直线或点，其中把直线变为直线的变换称线性变换。

例2：二阶矩阵M将点(1,-1)、(-2,1)分别变为(5,7)、(-3,6)，

   (1)求矩阵M   (2)求直线L:x-y=4在此变换下所变成的直线L^/的方程

（解答(1)    (2)11x-3y-68=0）

将点P(x,y)绕原点旋转θ角得到另一点P^/(x^/,y^/),写出二者坐标的关系及相应的变换矩阵。

设|OP|=|OP^/|=r,射线OX到的角为α，则x=rcosα，y=rsinα

对应的变换为T:→=

   矩阵称旋转变换矩阵，对应的角θ称旋转角，变换称旋转变换

  1、矩阵的特点：主对角线相等，付对角线互为相反数，且列矩阵元素平方和为1

  2、几何意义上，关于原点对称也可以看作绕原点旋转180⁰；对应的矩阵关于原点的反射矩阵与旋转矩阵相同

   例3、已知A(0,0),B(2,0),C(2,1),D(0,1)求四边形ABCD绕原点逆时针旋转90⁰后得到的点的坐标，并作图（教材P23---例4）

   练习1：例中将ABCD绕原点逆时针旋转30⁰，坐标及图形又如何？

   练习2：设A=、B=分别表示平面的什么变换？（绕原点旋转90⁰，关于x轴对称）

   例4、曲线xy=1表示等轴双曲线，

(1)将之绕原点旋转θ角（|θ|<）能否转化为一个焦点在x轴上的双曲线方程,能求出旋转角θ，旋转矩阵及相应的变换后的方程，不能说明理由

 (2)求xy=1的焦点坐标

解(1)设旋转矩阵为，点(x₀,)变换后的点为(x,y),则有

==

x²-y²=(x₀²-)cos2θ-2sin2θ要与x₀无关焦点在x轴上的双曲线，必须

，2θ=2kπ+,k∈Z  θ=kπ+, k∈Z    ∵|θ|<   ∴k=-1,θ=-，于是旋转矩阵为，相应的方程为x²-y²=2

   (2) x²-y²=2焦点坐标为(±2，0)，相应xy=1的焦点是将(±2，0)绕原点逆时针旋转，根据矩阵变换=，=焦点坐标为(,)及（-,-）

练习：求将椭圆+y²=1绕左焦点顺时针旋转90⁰得到的曲线方程（提示：将平移和旋转综合考虑，方程+x²=1）

解答：设点P(x,y)关于L:y=kx的对称点为P^/(x^/,y^/),直线L的倾斜角为θ，设|OP|=|OP^/|=r,射线OX到的角为α，则x=rcosα，y=rsinα,tanθ=k

x^/=rcos(2θ-α)=rcos2θcosα+rsin2θsinα=x+y

y^/=rsin(2θ-α)=rsin2θcosα-rcos2θsinα=x-y,

变换矩阵为

   五、小结：反射变换和旋转变换

六、作业：教材P33---5,6,8,13

[补充习题]

1、椭圆(x-2)²+=1在矩阵作用下的方程为_________

2、圆(x-3)²+(y+6)²=4在矩阵M所对应的变换下变为(x+3)²+(y-6)²=4，则矩阵M=_____,它属于_______矩阵

3、曲线f(x,y)=0在矩阵作用下得到的曲线方程与原方程的几何关系为____________

4、△ABC在矩阵M对应的旋转变换作用下得到△A^/B^/C^/，已知A(0,0),B(1,),C(0,2), A^/(0,0),B^/(-1,),C(-,1),求矩阵M

5、设L为过原点的直线，射线OX到直线L的角为30⁰，求以直线L为反射轴的反射矩阵A，并求点P(-2,6)在作用下的点的坐标

[补充习题答案]

1、(x+2)²+=1

2、

3、关于x轴对称

4、

5、A=，P^/(-1+3,-3-)

[情况反馈]

                            第三课时   投影变换

[教学目标]

[教学难点、重点]投影变换的矩阵表示

[教学过程]

一、复习变换，看书25页----27页内容

1、投影变换的几何意义是什么？（将平面图形投射到一个点或一条直线上）

2、投影变换是否为一一映射？（不是）。在学过的平移、伸压、恒等、反射及旋转变换中，是否为一一映射？（是）

3、投影变换矩阵如何求出？

投影轴

变换方程组

矩阵表示

投影矩阵（方程组的系数矩阵

x轴

=

y轴

=

直线y=x

=

例1、矩阵M=，A(2,1),B(1,3),C(2,2)

(1)求在M作用下，A、B、C对应的点A^/、B^/、C^/的坐标

(2)矩阵将直线AB、AC变成什么图形？对应变换的几何意义是什么？

解：(1)A^/(2,0), B^/(1,0),C^/(2,0)

 (2)都变成了x轴，是向x轴上的投影变换

练习：写出到直线y=2x的投影变换矩阵及垂直投影变换矩阵（，（x₀,y₀）垂直投影到直线y=2x上的点(x,y),则：根据=-1及y=2x解得，矩阵）

例2、求直线x+y=5在矩阵A=对应的变换下得到的图形

解：设(x₀,5-x₀)在A作用下对应的点为(x,y), ==,所以变换后得到点(0,5)

  说明：此例验证了在一个非零二阶矩阵变换下，直线变为直线或点，变成点的情况例子

练习：若曲线y=sinx在矩阵M对应的投影变换作用下变成直线y=0,求M，并求在M作用下曲线f(x,y)=0变成的方程（M=,y=0）

  例3、求椭圆x²+=1在矩阵作用下对应的图形

解：设(x₀,y₀)为已知椭圆上任意一点，在作用下变为点(x,y) ==

，于是x=0,y=y₀,由于(x₀,y₀)在椭圆上，故-2≤y₀≤2,所以变成了y轴上在[-2,2]间的线段

   说明：注意变形的等价性

练习：求曲线y²=x在矩阵对应的变换作用下得到的图形（射线OX）

[补充习题]

1、设L是过原点的直线，倾斜角为60⁰，A是到直线L的垂直投影变换，求A及点P(2,-1)在A作用下象P^/的坐标

2、矩阵M=将直线L:2x+y-7=0变成L^/:x+y-3=0，求a、b

3、二阶矩阵M对应的变换将点(1,-1)、(-2,1)分别变成(5,7)、(-3,6)

(1)求M  (2)求直线L:x-y=4在此变换下得到的L^/的方程

[补充习题答案]

1、A=，P^/

2、a=13/7,b=3/7

3、(1)(2)11x-3y-68=0

[情况反馈]

                     第四课时     切变变换

[教学目的]

[教学重点、难点]变换找法

[教学过程]

一、看书28---30页

二、汇总：

1、沿水平方向的切变变换

变换T:→==，切变变换矩阵，其中系数k可以代入一个点的坐标来求，如代点B，可以求得k=,如图一

   2、竖直方向上的切变变换

变换T:→==，切变变换矩阵，其中系数k可以代入一个点的坐标来求，如代点B，可以求得如图二

   3、切变变换矩阵的特点：一对角线为1，另一对角线一个为0，一个为系数k

   4、切变变换下，图形的长度、角、周长、面积是否发生变化？（面积不变，其余变）

   例1、矩形ABCD的顶点A、B、C、D在变换T下变成A^/、B^/、C^/、D^/，求T对应的变换矩阵

A(0,0),B(1,0),C(1,2),D(0,2)→(0,0),(1,1),C(1,3),(0,2)

   解：→==，变换矩阵为

  练习：变成坐标为(0,0),(1,0),(3,2),(2,2)时呢？（）

  例2、△OAB→△OA^/B^/的变换矩阵是什么，其中O为原点，A（2，1），A^/(3,2),B(1,2),B^/(3,1)

解：变换T:→==，有，k=1 ,故矩阵为

   例3、求直线x=2在矩阵下对应的方程

解：设x=2上一点(2,b),经作用后为点(x,y),则==，于是

，消去b即得方程x+y-2=0

  练习：求椭圆在矩阵作用下变成的方程（+xy+y²=1）

[补充]

设圆F：x²+y²=1在变换(x,y)→(x^/,y^/)=(x+2y,y)切变变换下变成一个图形F^/，求F^/的方程（x²-4xy+5y²=1）

[情况反馈]

                                   单元复习   矩阵与向量

[教学目标]

[教学难点、重点]例练

[教学过程]

1、矩阵有关概念：

（1）矩阵就是一个数表

（2）矩阵三个要素：行、列、元素。矩阵相等：行数、列数和对应元素全部相同

2、矩阵与向量的乘法：方程组，矩阵表示=即系数矩阵乘向量等于另一向量

3、几种常见的变换

变换名称

草图

方程组

矩阵表示

变换矩阵

恒等变换

伸压变换

反射变换

旋转变换

投影变换

切变变换

这些变换都是同一思路得到的：几何变换草图矩阵表示→变换矩阵

其中：绕原点的旋转变换矩阵和切变变换矩阵比较难于记忆，绕原点旋转旋转θ角的变换矩阵为（特点：主对角线相同，副对角线互为相反熟，各列的平方和为1）；水平切变变换矩阵为，竖直切变变换矩阵为，这些可以归结为一个歌诀：

   各种变换思一般，一图二组矩阵换。（先作图，再列出方程组，最后变成矩阵形式表示）

  主角相同副相反，各列平方和一旋。（旋转变换的矩阵特征）

  副角一零一系数，主角全一是切变。（切变变换的矩阵特征）

  左乘矩阵变后点，参数方法求曲线。（求一个点的变换后的点是左乘矩阵；求曲线变换后方程可以设原来曲线上点为参数，再进行变换，但要注意参数的范围）

   例1、集合A=,B=,_AB=,求x,y,z,α，β

解答：α=kπ+,k∈Z；β=2nπ-或2nπ+,n∈Z;x=1;y=3;z=4

  例2、已知在一个二阶矩阵作用下：A(1,2)→A^/(5,11);B(3,-1)→B^/(1,5);C(x,0)→C^/(2,y),求x、y

   解答：x=2,y=6

  例3、M=,=,= 求(1)2+3的象 (2)4M-3M

 解答：(1)2+3的象为 (2)4M-3M=

  例4、直线L过点(-1,0)且与向量=共线，求在下列变换矩阵作用下，L的象L^/的方程

(1)               (2)

   提示：设点(x₀,x₀+1)的象为(x,y),用参数法   (1)x+2y+1=0   (2)x+y+1=0

  练习：求圆x²+y²=1在下列矩阵作用下的方程，并作几何解释

  (1)               (2)

  ((1)x²+y²=1，几何意义：将圆x²+y²=1绕原点不变；(2)x+y=0(-1≤x≤1),几何意义：将平面内圆x²+y²=1上点投影到直线y=-x上)

   例4、f(x)=log₂x图象绕原点逆时针旋转90⁰得到y=g(x)的图象，求函数y=g(x)的解析式

  解答：g(x)=2^-x