2009年浙江高考预测参考题目(数学)
嘉善高级中学数学组提供
一.选择题
1.对非零实数
，定义一种乘法运算“
”：
；
；
.若
，则
( ).
(A) 
(B)
(C) 
(D)
1. 解答:由
得: 
,
，所以
,所以
.
2.某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部
内，将测试结果按如下方式分成五组：每一组
；第二组
……第五组
．下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图. 且第一组,第二组,第四组的频数成等比数列,
表示该班某两位同学的百米测试成绩，且
.则事件“
”的概率为( )
（A）
（B）
（C）
（D）
2.解答: 设第一组,第二组,第四组的频数组成等比数列的公比为
，
则
,解得
.
由图知，成绩在
的人数为
人，成绩在
的人数为
人..
若
时，有6种情况；
若
时，有种12种情况；
若一个在
另一个在
内时，共有24种情况.
所以基本事件总数为42种，事件“”所包含的基本事件个数有24种.
∴
3.已知
，
是椭圆上关于原点对称的两点，
是椭圆上任意一点且直线
的斜率分别为
，
，则
的最小值为
,则椭圆的离心率为( ).
(A) 
(B)
(C) 
(D)
3.解答:可以证明:
,所以
,
,
.
二、填空题
4.
、
是半径为
的圆上的两条互相垂直的半径(
为圆心)，
是该圆上任一点，且
，则
．
4.解答:分别以
为
轴，则
，设
，则
，由，
，
，代入得
.
5. 已知现有编号为①②③④⑤的5个图形,它们分别是两个直角边长为3、3的直角三角形；两个边长为3的正方形；一个半径为3的圆.则以这些图形中的三个图形为一个立体图形的三视图的概率为 .
5.解答:
. ①②③；②③④； ③④⑤可构成一个立体图形的三视图.
6.设正方体的对称轴组成的集合为
,对
,都有异面直线
使得
,所成的最小角为
,则
.
6.解答:
,
. 
.
三、解答题
7.设
分别为
的外心，
，
，动点
满足，
,
（1）求点
的轨迹
。
（2）当为
的重心时，轨迹E与
轴两个交点分别为
，
（位于下方）。动点M、N均在轨迹E上，且满足
，试问直线
和
交点P是否恒在某条定直线
上？若是，试求出的方程；若不是，请说明理由。
7.解：（1）设
为轨迹E上任意一点,显然A、B、C不共线，∴
。又设
∵则，
，得
点坐标为
，
∵
，∴ 
，∴的外心
为
由
①若
，表示焦点在
轴上的椭圆且出去两点
；
②若
，表示焦点在
轴上的双曲线且出去两点；
（2）当为的重心时，轨迹的方程为：
。
设
：
，则
：
.
由
，
.
∴
的坐标为
∴
为：
联立的方程，解得：
∴
.
即点
恒在定直线
：上.
8. 设
是函数
的一个极值点.
（1）求
的单调区间；
（2）设
，
,若存在
使得
成立，求
的取值范围.
8.解：（1）
当
时，
或
，
.
单调减区间为
,
,单调增区间为
.
当
时，
或
，
.
单调减区间为
,
,单调增区间为
.
当
时，
, 单调减区间为,
.
（2）由（1）知，当时, 在区间
上的单调递增，在区间
上单调递减,而
,
,
.
那么在区间
上的值域是
在的值域为
,
若
，则一定存在使得
成立.
若
,则只要
或
，
由于
.
所以,
.解得:
.