一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分。
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
A
B
D
C
D
C
B
二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分
9．60
10. 4 11. 
12. 2 13.
与
或 
与
14. -2；1
三、解答题： 本大题共6个小题，共80分。
15. （本小题共13分）已知函数
（Ⅰ）求函数
的定义域； （Ⅱ）求函数在区间
上的最值。
解：（Ⅰ）由题意 
所求定义域为 {
}
…………4分
（Ⅱ）
…………9分
由
知 
，
所以当
时，取得最大值为
；
…………11分
当
时，取得最小值为0 。
…………13分
16.（本小题共13分）已知数列
中，
，当
时，函数
取得极值。（Ⅰ）求数列
的通项；（Ⅱ）在数列
中，
，
，求
的值
解：（Ⅰ） 
由题意
得 
， …………6分
又
所以 数列是公比为
的等比数列 所以 
…………8分
（Ⅱ） 因为 
，
…………10分
所以 
，
，
，……，
叠加得 
把代入得 =
…………13分
17. （本小题共14分）
如图，在正三棱柱
中，
,
是
的中点，点
在
上，
。
（Ⅰ）求
所成角的正弦值；
（Ⅱ）证明
；(Ⅲ) 求二面角
的大小.
解：（Ⅰ）在正三棱柱中， 
，又是正△ABC边的中点，
，
∠
为所成角
又 
sin∠=
…………5分
（Ⅱ）证明: 依题意得 
，
，
因为
由（Ⅰ）知
， 而
，
所以 
所以
…………9分
(Ⅲ) 过C作
于
，作
于
，连接
， …………11分
又 
是所求二面角的平面角
，
二面角的大小为
…………14分
18. （本小题共13分）
某校高二年级开设《几何证明选讲》及《坐标系与参数方程》两个模块的选修科目。每名学生可以选择参加一门选修，参加两门选修或不参加选修。已知有60%的学生参加过《几何证明选讲》的选修，有75%的学生参加过《坐标系与参数方程》的选修，假设每个人对选修科目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响。
(Ⅰ)任选一名学生，求该生参加过模块选修的概率；
(Ⅱ)任选3名学生，记
为3人中参加过模块选修的人数，求的分布列和期望。
解：(Ⅰ)设该生参加过《几何证明选讲》的选修为事件A，
参加过《坐标系与参数方程》的选修为事件B， 该生参加过模块选修的概率为P，
则
则 该生参加过模块选修的概率为0.9 …………6分
（另：
）
(Ⅱ) 可能取值0，1，2，3
=0.001，
=0.027
=0.243， 
=0.729
…………10分
0
1
2
3
0.001
0.027
0.243
0.729
的分布列为
…………13分
19. （本小题共13分）
已知
分别为椭圆
的左、右焦点，直线
过点
且垂直于椭圆的长轴，动直线
垂直于直线，垂足为
，线段
的垂直平分线交
于点M。(Ⅰ)求动点M的轨迹
的方程；(Ⅱ)过点作直线交曲线于两个不同的点P和Q，设＝
，若∈[2，3]，求
的取值范围。
解：(Ⅰ)设M
，则
，由中垂线的性质知
|
|=
化简得的方程为
…………3分
（另：由知曲线是以x轴为对称轴，以
为焦点，以为准线的抛物线
所以 
，
则动点M的轨迹的方程为）
(Ⅱ)设
，由＝ 知 
①
又由在曲线上知 
②
由 ① ② 解得
所以 有 
…………8分
=
=
=
…………10分
设
有
在区间
上是增函数，
得
，进而有 
，所以的取值范围是
……13分
20. （本小题共14分）
函 数 
是 定 义 在R上 的 偶 函 数，且
时，
，记函数的图像在
处的切线为
，
。
(Ⅰ) 求在
上的解析式；
(Ⅱ) 点列
在
上，
依次为x轴上的点，
如图，当
时，点
构成以
为底边
的等腰三角形。若
，求数列
的通项公式；
(Ⅲ)在 (Ⅱ)的条件下，是否存在实数a使得数列是等差数列？如果存在，写出
的一个值；如果不存在，请说明理由。
解：(Ⅰ) 函数是定义在R上的偶函数，且
；是周期为2的函数
…………1分
由 可知
=-4
，
…………4分
(Ⅱ) 函数的图像在处的切线为，且，
切线过点
且斜率为1，切线的方程为y=x+1 …………6分
在上，有 
即
点构成以为底边的等腰三角形
… ①
同理
… ② 两式相减 得 
…………11分
(Ⅲ) 假设是等差数列 ，则
…………14分
故存在实数a使得数列是等差数列。