江苏省苏北四市2009届高三第三次调研考试
数学试题 2009．3.31
注意事项：
1．本试卷分填空题和解答题两部分，共160分．考试用时120分钟．
2．答题前，考生务必将自己的学校、姓名、考试号写在答题纸的密封线内．答题时，填空题和解答题的答案写在答题纸上对应题目的空格内，答案写在试卷上无效．本卷考试结束后，上交答题纸．
3．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．
4．文字书写题统一使用0.5毫米及0.5毫米以上签字笔．
5．作图题可使用2B铅笔，不需要用签字笔描摹．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分. 不需写出解答过程．请把答案直接填写在答案卷上.
1、已知集合
若
，则实数m的值为
2、若复数
为虚数单位）为纯虚数，则实数a的值为
3、一个几何体的主视图与左视图都是边长为2的正方形，其俯视图是直径为的圆，则该几何体的表面积为
4、如图，给出一个算法的伪代码，
Read x
If 
则
5、已知直线
的充要条件是a=
6、高三（1）班共有56人，学号依次为1，2，3，┅，56，现用系统抽样的办法抽取一个容量为4的样本，已知学号为6，34，48的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为
7、在一次招聘口试中，每位考生都要在5道备选试题中随机抽出3道题回答，答对其中2道题即为及格，若一位考生只会答5道题中的3道题，则这位考生能够及格的概率为
8、设方程
9、已知函数
的值为
10、已知平面区域
，若向区域U内随机投一点P，则点P落入区域A的概率为
11、已知抛物线
到其焦点的距离为5，双曲线
的左顶点为A，若双曲线一条渐近线与直线AM垂直，则实数a=
12、已知平面向量
的夹角为
，
13、函数
上的最大值为
14、如图，将平面直角坐标系的格点（横、纵坐标均为整数的点）按如下规则表上数字标签：原点处标0，点（1，0）处标1，点（1，-1）处标2，点（0，-1）处标3，点（-1，-1）处标4，点（-1，0）标5，点（-1，1）处标6，点（0，1）处标7，以此类推，则标签
的格点的坐标为
二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（本题满分14分）
在斜三角形ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c且
.
(1)求角A；
(2)若
，求角C的取值范围。
16．（本题满分14分）
在在四棱锥O－ABCD中，底面ABCD为菱形，OA⊥平面ABCD，E为OA的中点，F为BC的中点，求证：
（1）平面BDO⊥平面ACO；
（2）EF//平面OCD.
17、（本题满分14分）
已知圆O的方程为
且与圆O相切。
（1）求直线
的方程；
（2）设圆O与x轴交与P,Q两点，M是圆O上异于P,Q的任意一点，过点A且与x轴垂直的直线为
，直线PM交直线于点
，直线QM交直线于点
。求证：以
为直径的圆C总过定点，并求出定点坐标。
18、（本题满分16分）
有一座大桥既是交通拥挤地段，又是事故多发地段，为了保证安全，交通部门规定。大桥上的车距d(m)与车速v(km/h)和车长l(m)的关系满足：
（k为正的常数），假定车身长为
（1）写出车距d关于车速v的函数关系式;
（2）应规定怎样的车速，才能使大桥上每小时通过的车辆最多？
19、（本题满分16分）
已知函数
（1）试求b,c所满足的关系式；
（2）若b=0，方程
有唯一解，求a的取值范围；
（3）若b=1，集合
，试求集合A.
20、（本题满分16分）
已知数列a,b,c为各项都是正数的等差数列，公差为d（d>0)，在a,b之间和b,c之间共插入m个实数后，所得到的m+3个数所组成的数列
是等比数列，其公比为q.
(1)若a=1,m=1,求公差d；
(2)若在a,b之间和b,c之间所插入数的个数均为奇数，求所插入的m个数的乘积（用a,c,m表示）
(3)求证：q是无理数。
1．1 2．
3．
4．－8 5．
6．20
7．
8．1 9．0 10．
11．
12．
13．
14．（1005，1004）
15.⑴ ∵ 
，……………………………… 2分
又∵ 
，∴
而
为斜三角形，
∵
，∴
. ……………………………………………………………… 4分
∵
，∴
. …………………………………………………… 6分
⑵∵
，∴
…12分
即
，∵
，∴
.…………………………………14分
16．⑴∵
平面
，
平面，所以
，…2分
∵是菱形，∴
，又
，
∴
平面
，……………………………………………………4分
又∵平面
，∴平面
平面
． ……………………………………6分
⑵取
中点
，连接
,则
，
∵是菱形，∴
，
∵
为
的中点，∴
，………………10分
∴
．
∴四边形
是平行四边形，∴
，………………12分
又∵
平面
，
平面．
∴
平面． ………………………………………………………………14分
17.（1）∵直线
过点
，且与圆
：
相切，
设直线
的方程为
，即
， …………………………2分
则圆心
到直线的距离为
，解得
，
∴直线的方程为
，即．
…… …………………4分
（2）对于圆方程
,令
，得
,即
．又直线
过点
且与
轴垂直，∴直线方程为
，设
，则直线
方程为
解方程组
,得
同理可得,
……………… 10分
∴以
为直径的圆
的方程为
，
又
，∴整理得
，……………………… 12分
若圆经过定点，只需令
，从而有
，解得
，
∴圆总经过定点坐标为
．
…………………………………………… 14分
18．⑴因为当
时，
，所以
，
……4分
∴
………………………………………………………6分
⑵设每小时通过的车辆为
，则
．即
……12分
∵
，…………………………………………………14分
∴
，当且仅当
，即
时，
取最大值
．
答：当
时，大桥每小时通过的车辆最多．………16分
19.（1）由
，得
∴b、c所满足的关系式为
．……………………2分
（2）由
，，可得
．
方程
，即
，可化为
，
令
，则由题意可得，
在
上有唯一解，…4分
令
，由
，可得
，
当
时，由
，可知
是增函数；
当
时，由
，可知是减函数．故当时，取极大值
．………6分
由函数的图象可知，当
或
时，方程有且仅有一个正实数解．
故所求
的取值范围是
或
． ……………………………………………8分
（3）由
，，可得
．由
且
且
且．…10分
当
时，
；当
时，
；
当
时（
），
；当
时，
且
；
当
时，
∪
．
………………………16分
注：可直接通过研究函数
与
的图象来解决问题．
20．（1）由
，且等差数列
的公差为
，可知
，
若插入的一个数在
之间，则
，
，
消去
可得
，其正根为
．
………………………………2分
若插入的一个数在
之间，则
，，
消去可得
，此方程无正根．故所求公差．………4分
（2）设在之间插入
个数，在之间插入
个数，则
，在等比数列
中，
∵
，
…，
，
∴
…
…
………………8分
又∵
，
，
都为奇数，∴
可以为正数，也可以为负数．
①若为正数，则
…
，所插入
个数的积为
；
②若为负数，
…
中共有
个负数，
当
是奇数，即
N*)时，所插入个数的积为；
当是偶数，即
N*）时，所插入个数的积为
．
综上所述，当N*)时，所插入个数的积为；
当N*）时，所插入个数的积为
．…………10分
注：可先将…用和表示，然后再利用条件消去进行求解．
（3）∵在等比数列，由
，可得
，同理可得
，
∴
，即
，
…………………………12分
假设是有理数，若为整数，∵是正数，且
，∴
，
在
中，∵
是的倍数，故1也是的倍数，矛盾．
若不是整数，可设
（其中
为互素的整数，
），
则有
，即
，
∵
，可得
，∴
是x的倍数，即
是x的倍数，矛盾．
∴ 是无理数．……………………………………16分
附加题部分
21B．设
为曲线
上的任意一点，在矩阵A变换下得到另一点
，
则有
，…………………………………………………………4分
即
∴
…………………………………8分
又因为点P在曲线上，所以
，
故有
, 即所得曲线方程
.……………………………………… 10分
的极坐标方程化为直角坐标方程为
，
即
，它表示以
为圆心，2为半径的圆， …………………4分
直线方程
的普通方程为
，
………………6分
圆
的圆心到直线的距离
，………………………………………………………8分
故所求弦长为
．
………………………………………………10分
21D．由柯西不等式可得 
．…10分
22．以点为坐标原点, 以
分别为
轴,
建立如图空间直角坐标系, 不妨设 
则
,∴ 
,