2009年高考数学难点突破专题辅导二十九

难点29  排列、组合的应用问题

排列、组合是每年高考必定考查的内容之一，纵观全国高考数学题，每年都有1～2道排列组合题，考查排列组合的基础知识、思维能力.

●难点磁场

(★★★★★)有五张卡片，它们的正、反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将其中任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？

●案例探究

［例1］在∠AOB的OA边上取m个点，在OB边上取n个点(均除O点外)，连同O点共m+n+1个点，现任取其中三个点为顶点作三角形，可作的三角形有(    )

6ec8aac122bd4f6e

命题意图：考查组合的概念及加法原理，属★★★★★级题目.

知识依托：法一分成三类方法；法二，间接法，去掉三点共线的组合.

错解分析：A中含有构不成三角形的组合，如：C6ec8aac122bd4f6eC6ec8aac122bd4f6e中，包括O、Bi、Bj;C6ec8aac122bd4f6eC6ec8aac122bd4f6e中，包含O、Ap、Aq，其中Ap、Aq,Bi、Bj分别表示OA、OB边上不同于O的点；B漏掉△AiOBj；D有重复的三角形.如C6ec8aac122bd4f6eC6ec8aac122bd4f6e中有△AiOBj,C6ec8aac122bd4f6eC6ec8aac122bd4f6e中也有△AiOBj.

技巧与方法：分类讨论思想及间接法.

解法一：第一类办法：从OA边上(不包括O)中任取一点与从OB边上(不包括O)中任取两点，可构造一个三角形，有C6ec8aac122bd4f6eC6ec8aac122bd4f6e个；第二类办法：从OA边上(不包括O)中任取两点与OB边上(不包括O)中任取一点，与O点可构造一个三角形，有C6ec8aac122bd4f6eC6ec8aac122bd4f6e个；第三类办法：从OA边上(不包括O)任取一点与OB边上(不包括O)中任取一点，与O点可构造一个三角形，有C6ec8aac122bd4f6eC6ec8aac122bd4f6e个.由加法原理共有N=C6ec8aac122bd4f6eC6ec8aac122bd4f6e+C6ec8aac122bd4f6eC6ec8aac122bd4f6e+C6ec8aac122bd4f6eC6ec8aac122bd4f6e个三角形.

解法二：从m+n+1中任取三点共有C6ec8aac122bd4f6e个，其中三点均在射线OA(包括O点)，有C6ec8aac122bd4f6e个，三点均在射线OB(包括O点)，有C6ec8aac122bd4f6e个.所以，个数为N=C6ec8aac122bd4f6e－C6ec8aac122bd4f6e－C6ec8aac122bd4f6e个.

答案：C

［例2］四名优等生保送到三所学校去，每所学校至少得一名，则不同的保送方案的总数是_________.

命题意图：本题主要考查排列、组合、乘法原理概念，以及灵活应用上述概念处理数学问题的能力，属★★★★级题目.

知识依托：排列、组合、乘法原理的概念.

错解分析：根据题目要求每所学校至少接纳一位优等生，常采用先安排每学校一人，而后将剩的一人送到一所学校，故有3A6ec8aac122bd4f6e种.忽略此种办法是：将同在一所学校的两名学生按进入学校的前后顺序，分为两种方案，而实际题目中对进入同一所学校的两名学生是无顺序要求的.

技巧与方法：解法一，采用处理分堆问题的方法.解法二，分两次安排优等生，但是进入同一所学校的两名优等生是不考虑顺序的.

解法一：分两步：先将四名优等生分成2，1，1三组，共有C6ec8aac122bd4f6e种；而后，对三组学生安排三所学校，即进行全排列，有A33种.依乘法原理，共有N=C6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e =36(种).

解法二：分两步：从每个学校至少有一名学生，每人进一所学校，共有A6ec8aac122bd4f6e种；而后，再将剩余的一名学生送到三所学校中的一所学校，有3种.值得注意的是：同在一所学校的两名学生是不考虑进入的前后顺序的.因此，共有N=6ec8aac122bd4f6eA6ec8aac122bd4f6e?3=36(种).

答案：36

●锦囊妙记

排列与组合的应用题，是高考常见题型，其中主要考查有附加条件的应用问题.解决这类问题通常有三种途径：(1)以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素.(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数.前两种方式叫直接解法，后一种方式叫间接解法.

在求解排列与组合应用问题时，应注意：

(1)把具体问题转化或归结为排列或组合问题；

(2)通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；

(3)分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；

(4)列出式子计算和作答.

解排列与组合应用题常用的方法有：直接计算法与间接计算法；分类法与分步法；元素分析法和位置分析法；插空法和捆绑法等八种.

经常运用的数学思想是：

①分类讨论思想；②转化思想；③对称思想.

●歼灭难点训练

一、填空题

1.(★★★★)从集合{0，1，2，3，5，7，11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax+By+C=0中的A、B、C，所得的经过坐标原点的直线有_________条(用数值表示).

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2.(★★★★★)圆周上有2n个等分点(n＞1)，以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为_________.

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二、解答题

3.(★★★★★)某人手中有5张扑克牌，其中2张为不同花色的2，3张为不同花色的A，有5次出牌机会，每次只能出一种点数的牌但张数不限，此人有多少种不同的出牌方法？

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4.(★★★★)二次函数y=ax2+bx+c的系数a、b、c，在集合{－3，－2，－1，0，1，2，3，4}中选取3个不同的值，则可确定坐标原点在抛物线内部的抛物线多少条？

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5.(★★★★★)有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数.

(1)全体排成一行，其中甲只能在中间或者两边位置.

(2)全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边.

(3)全体排成一行，其中男生必须排在一起.

(4)全体排成一行，男、女各不相邻.

(5)全体排成一行，男生不能排在一起.

(6)全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变.

(7)排成前后二排，前排3人，后排4人.

(8)全体排成一行，甲、乙两人中间必须有3人.

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6.(★★★★★)20个不加区别的小球放入编号为1、2、3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，求不同的放法种数.

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7.(★★★★)用五种不同的颜色，给图中的(1)(2)(3)(4)的各部分涂色，每部分涂一色，相邻部分涂不同色，则涂色的方法共有几种？

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6ec8aac122bd4f6e

 

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难点磁场

解：(间接法)：任取三张卡片可以组成不同三位数C6ec8aac122bd4f6e?23?A6ec8aac122bd4f6e(个)，其中0在百位的有C6ec8aac122bd4f6e?22?A6ec8aac122bd4f6e (个)，这是不合题意的，故共有不同三位数：C6ec8aac122bd4f6e?23?A6ec8aac122bd4f6e－C6ec8aac122bd4f6e?22?A6ec8aac122bd4f6e=432(个）.

歼灭难点训练

一、1.解析：因为直线过原点，所以C=0，从1，2，3，5，7，11这6个数中任取2个作为A、B两数的顺序不同，表示的直线不同，所以直线的条数为A6ec8aac122bd4f6e=30.

答案：30

2.解析：2n个等分点可作出n条直径，从中任选一条直径共有C6ec8aac122bd4f6e种方法；再从以下的(2n－2)个等分点中任选一个点，共有C6ec8aac122bd4f6e种方法，根据乘法原理：直角三角形的个数为：C6ec8aac122bd4f6e?C6ec8aac122bd4f6e=2n(n－1)个.

答案：2n(n－1)

二、3.解：出牌的方法可分为以下几类：

(1)5张牌全部分开出，有A6ec8aac122bd4f6e种方法；

(2)2张2一起出，3张A一起出，有A6ec8aac122bd4f6e种方法；

(3)2张2一起出，3张A一起出，有A6ec8aac122bd4f6e种方法；

(4)2张2一起出，3张A分两次出，有C6ec8aac122bd4f6eA6ec8aac122bd4f6e种方法；

(5)2张2分开出，3张A一起出，有A6ec8aac122bd4f6e种方法；

(6)2张2分开出，3张A分两次出，有C6ec8aac122bd4f6eA6ec8aac122bd4f6e种方法.

因此，共有不同的出牌方法A6ec8aac122bd4f6e+A6ec8aac122bd4f6e+A6ec8aac122bd4f6e+A6ec8aac122bd4f6eA6ec8aac122bd4f6e+A6ec8aac122bd4f6e+C6ec8aac122bd4f6eA6ec8aac122bd4f6e=860种.

4.解：由图形特征分析，a＞0,开口向上，坐标原点在内部6ec8aac122bd4f6ef(0)=c＜0;a＜0,开口向下，原点在内部6ec8aac122bd4f6ef(0)=c＞0,所以对于抛物线y=ax2+bx+c来讲，原点在其内部6ec8aac122bd4f6eaf(0)=ac＜0,则确定抛物线时，可先定一正一负的a和c，再确定b,故满足题设的抛物线共有C6ec8aac122bd4f6eC6ec8aac122bd4f6eA6ec8aac122bd4f6eA6ec8aac122bd4f6e=144条.

5.解：(1)利用元素分析法，甲为特殊元素，故先安排甲左、右、中共三个位置可供甲选择.有A6ec8aac122bd4f6e种，其余6人全排列，有A6ec8aac122bd4f6e种.由乘法原理得A6ec8aac122bd4f6eA6ec8aac122bd4f6e=2160种.

(2)位置分析法.先排最右边，除去甲外，有A6ec8aac122bd4f6e种，余下的6个位置全排有A6ec8aac122bd4f6e种，但应剔除乙在最右边的排法数A6ec8aac122bd4f6eA6ec8aac122bd4f6e种.则符合条件的排法共有A6ec8aac122bd4f6eA6ec8aac122bd4f6e－A6ec8aac122bd4f6eA6ec8aac122bd4f6e=3720种.

(3)捆绑法.将男生看成一个整体，进行全排列.再与其他元素进行全排列.共有A6ec8aac122bd4f6eA6ec8aac122bd4f6e=720种.

(4)插空法.先排好男生，然后将女生插入其中的四个空位，共有A6ec8aac122bd4f6eA6ec8aac122bd4f6e=144种.

(5)插空法.先排女生，然后在空位中插入男生，共有A6ec8aac122bd4f6eA6ec8aac122bd4f6e=1440种.

(6)定序排列.第一步，设固定甲、乙、丙从左至右顺序的排列总数为N，第二步，对甲、乙、丙进行全排列，则为七个人的全排列，因此A6ec8aac122bd4f6e=N×A6ec8aac122bd4f6e，∴N=6ec8aac122bd4f6e= 840种.?

(7)与无任何限制的排列相同，有A6ec8aac122bd4f6e=5040种.

(8)从除甲、乙以外的5人中选3人排在甲、乙中间的排法有A6ec8aac122bd4f6e种，甲、乙和其余2人排成一排且甲、乙相邻的排法有A6ec8aac122bd4f6eA6ec8aac122bd4f6e.最后再把选出的3人的排列插入到甲、乙之间即可.共有A6ec8aac122bd4f6e×A6ec8aac122bd4f6e×A6ec8aac122bd4f6e=720种.

6.解：首先按每个盒子的编号放入1个、2个、3个小球，然后将剩余的14个小球排成一排，如图，|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|，有15个空档，其中“O”表示小球，“|”表示空档.将求小球装入盒中的方案数，可转化为将三个小盒插入15个空档的排列数.对应关系是：以插入两个空档的小盒之间的“O”个数，表示右侧空档上的小盒所装有小球数.最左侧的空档可以同时插入两个小盒.而其余空档只可插入一个小盒，最右侧空档必插入小盒，于是，若有两个小盒插入最左侧空档，有C6ec8aac122bd4f6e种；若恰有一个小盒插入最左侧空档，有6ec8aac122bd4f6e种；若没有小盒插入最左侧空档，有C6ec8aac122bd4f6e种.由加法原理，有N=6ec8aac122bd4f6e=120种排列方案，即有120种放法.

7.解：按排列中相邻问题处理.(1)(4)或(2)(4).可以涂相同的颜色.分类：若(1)(4)同色，有A6ec8aac122bd4f6e种，若(2)(4)同色，有A6ec8aac122bd4f6e种，若(1)(2)(3)(4)均不同色，有A6ec8aac122bd4f6e种.由加法原理，共有N=2A6ec8aac122bd4f6e+A6ec8aac122bd4f6e=240种.

8.解：每人随意值两天，共有C6ec8aac122bd4f6eC6ec8aac122bd4f6eC6ec8aac122bd4f6e个；甲必值周一，有C6ec8aac122bd4f6eC6ec8aac122bd4f6eC6ec8aac122bd4f6e个；乙必值周六，有C6ec8aac122bd4f6eC6ec8aac122bd4f6eC6ec8aac122bd4f6e个；甲必值周一且乙必值周六，有C6ec8aac122bd4f6eC6ec8aac122bd4f6eC6ec8aac122bd4f6e个.所以每人值两天，且甲必不值周一、乙必不值周六的值班表数，有N=C6ec8aac122bd4f6eC6ec8aac122bd4f6eC6ec8aac122bd4f6e－2C6ec8aac122bd4f6eC6ec8aac122bd4f6eC6ec8aac122bd4f6e+ C6ec8aac122bd4f6eC6ec8aac122bd4f6eC6ec8aac122bd4f6e=90－2×5×6+12=42个.