高三数学一模考试试题（理科）
山东省聊城一中 邮编252000 王树青 适合高三年级人教A或B版皆可
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第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项.
1.给定下列结论：
①已知命题p：
；命题q：
则命题“
”是假命题；
②“命题
为真”是“命题
为真”的必要不充分条件；
③命题“所有的正方形都是矩形”的否定是“所有的正方形都不是矩形”；
④函数
与函数
互为反函数.
正确的个数是 （ ）
A．1 B．
2.已知
（其中
为虚数单位），
，
则以下关系中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3.给出下列四个命题，其中正确的一个是（ ）
A．在线性回归模型中，相关指数
，说明预报变量对解释变量的贡献率是
B．在独立性检验时，两个变量的
列联表中对角线上数据的乘积相差越大，说明这两个变量没有关系成立的可能性就越大
C．相关指数R2用来刻画回归效果，R2越小，则残差平方和越大，模型的拟合效果越差
D．随机误差e是衡量预报精确度的一个量，它满足E（e）=0
4.如果执行右面的程序框图，那么输出的
（ ）
A．1
B．
C．
D．
5. 若
，则函数
上恰好有（ ）
A．0个零点 B．1个零点 C．2个零点 D．3个零点
6.如图是一个几何体的三示图，该几何体的体积是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．在
中，已知向量
，
，则的面积等于（ ）
A．
B．
C．
D．
8．
是
的任一排列，
是
到的一一映射，且满足
，记数表
.若数表
的对应位置上至少有一个不同，就说是两张不同的数表。则满足条件的不同的数表的张数为（ ）
A．144 B．
9．两个正数a、b的等差中项是5，等比中项是4。若a＞b，则双曲线
的离心率e等于
（
）
A．
B．
C． 
D．
10. 已知在平面直角坐标系中，
，动点
满足条件
, 则
的最大值为（ ）
A．-1
B．
11. 一支足球队每场比赛获胜（得3分）的概率为
，与对手踢平（得1分）的概率为
，负于对手（得0分）的概率为
，已知该足球队进行一场比赛得分的期望是1，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
12． 已知函数
， 定义在
上的奇函数
，当
时
，则函数
的大致图象为 （ ）
 |
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 答案填在题中横线上.
13．类比在平面几何中关于角的命题“如果一个角的两条边与另一个角的两条边分别垂直，则这两个角相等或互补”，写出在空间中关于二面角相应的一个命题 ；该命题是 命题（填“真”或“假”）.
14．在△ABC中，已知
，则∠B的对边b等于
.
15．已知抛物线
，过点
的直线与抛物线相交于
,
,
.
16. 电视机的使用寿命显像管开关的次数有关.某品牌电视机的显像管开关了10000次还能继续使用的概率是0.96，开关了15000次后还能继续使用的概率是0.80，则已经开关了10000次的电视机显像管还能继续使用到15000次的概率是 .
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）
设函数
（Ⅰ）写出函数
的最小正周期及单调递减区间；
（II）当
时，函数的最大值与最小值的和为
，的图象、
轴的正半轴及
轴的正半轴三者围成图形的面积.
18．（本题满分12分）
某校有一贫困学生因病需手术治疗，但现在还差手术费
万元，团委计划在全校开展爱心募捐活动，为了增加活动的趣味性吸引更多学生参与，特举办“摇奖100%中奖”活动.凡捐款10元者，享受一次摇奖机会，如图是摇奖机的结构示意图，摇奖机的旋转盘是均匀的，扇形区域
所对应的圆心角的比值分别为1：2：3：4：5.相应区域分别设立一、二、三、四、五等奖，奖品分别为价值分别为5元、4元、3元、2元、1元的学习用品.摇奖时，转动圆盘片刻，待停止后，固定指针指向哪个区域（边线忽略不计）即可获得相应价值的学习用品（如图指针指向区域
，可获得价值3元的学习用品）.
（Ⅰ）
预计全校捐款10元者将会达到1500人次，那么除去
购买学习用品的款项后，剩余款项是否能帮助该生完成手术治疗？
（II）如果学生甲捐款20元，获得了两次摇奖机会，求他获得价
值6元的学习用品的概率.
19．（本小题满分12分）
如图，在四棱台ABCD―A1B
为2的正方形，上底A1B
侧棱DD1⊥平面ABCD，DD1=2.
（Ⅰ）求证：
平面
；
（II）（理）求二面角
的余弦值.
（文）求证：平面⊥平面B1BDD1.
20．（本小题满分12分）
过点
作曲线
的切线，切点为
，设在轴上的投影是点
；又过点作曲线
的切线，切点为
，设在轴上的投影是点
；
依此下去，得到一系列点，，
；设它们的横坐标
构成数列为
.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（II）求证：
；
（III）当
时，令
求数列
的前
项和
.
21．（本题满分12分）
设
.
（Ⅰ）确定的值，使的极小值为0；
（II）证明：当且仅当
时，的极大值为3.
22.（本小题满分12分）
已知椭圆
：
的离心率为
，直线
与以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆
相切。
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（II）设椭圆的左焦点为
，右焦点为
，直线
过点且垂直于椭圆的长轴，动直线
垂直于，垂足为点
，线段
的垂直平分线交于点
，求点的轨迹
的方程；
（III）设与轴交于点
，不同的两点
在上，且满足
，求
的取值范围。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项.
（1）C （2）B （3）D （4）C （5）B （6）B
（7）A （8）C （9）B （10）D （11）A （12）B
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 答案填在题中横线上.
13. 如果一个二面角的两个面与另一个二面角的两个面分别垂直，则这两个二面角相等或互补 假
14.
15. 0
16.
三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）
………2分
………4分
………6分
（II）
………8分
的图象与x轴正半轴的第一个交点为
………10分
所以的图象、y轴的正半轴及x轴的正半轴三者围成图形的面积
=
…12分
18．（本题满分12分）
解：（Ⅰ）设摇奖一次，获得一、二、三、四、五等奖的事件分别记为
.
则其概率分别为
……3分
设摇奖一次支出的学习用品相应的款项为
，则的分布列为：
1
2
3
4
5
.………6分
若捐款10元者达到1500人次，那么购买学习用品的款项为
（元）,
除去购买学习用品的款项后，剩余款项为
（元）,
故剩余款项可以帮助该生完成手术治疗. ………8分
（II）记事件“学生甲捐款20元获得价值6元的学习用品”为
，则
.
即学生甲捐款20元获得价值6元的学习用品的概率为
………12分
19．（本小题满分12分）
以D为原点，以DA、DC、DD1所在直线分别为x轴，z轴建立空间直角坐标系D―xyz如图，则有A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），A1（1，0，2），B1（1，1，2），C1（0，1，2），D1（0，0，2）. … 3分
（Ⅰ）证明：设
则有
所以
，
，∴
平面
；………6分
（II）解：
设
为平面
的法向量，
于是
………8分
同理可以求得平面的一个法向量
，………10分
∴二面角
的余弦值为. ………12分
20．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）对
求导数，得
，切点是
的切线方程是
.…2分
当
时，切线过点
，即
，得
;
当
时，切线过点
，即
，得
.
所以数列
是首项，公比为
的等比数列，
所以数列的通项公式为
.………4分(文………6分)
（II）应用二项式定理，得
………8分
（III）
当
时，
数列
的前
项和
=
同乘以
，得
=
两式相减，………10分（文………8分）
得=
，
所以=
.………12分
21．（本题满分12分）
解：（Ⅰ）由于
所以
………2分
令
,
当a=2时，
所以2－a≠0.
① 当2－a>0，即a<2时，
的变化情况如下表1：
x
0
(0,2－a)
2－a
(2－a,+∞)
－
0
+
0
－
ㄋ
极小值
ㄊ
极大值
ㄋ
此时应有f(0)=0，所以a=0<2；
②当2－a<0，即a>2时，的变化情况如下表2：
x
2－a
(2－a,0)
0
(0,+∞)
－
0
+
0
－
ㄋ
极小值
ㄊ
极大值
ㄋ
此时应有
而
综上可知，当a=0或4时，的极小值为0. ………6分
（II）若a<2，则由表1可知，应有
也就是
设
由于a<2得 
所以方程 
无解. ………8分
若a>2，则由表2可知，应有f(0)=3，即a=3. ………10分
综上可知，当且仅当a=3时，f(x)的极大值为3. ………12分
22.（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）由
得，
；……4分
由直线
与圆
相切，得
，所以，
。所以椭圆的方程是
.……4分
（II）由条件知，
，即动点
到定点
的距离等于它到直线
：
的距离，由抛物线的定义得点的轨迹
的方程是
. ……8分
（III）由（2）知
，设
，
，所以
，
.
由
，得
.因为
，化简得
，……10分
（当且仅当
，即
时等号成立）. ……12分
，又
所以当
，即
时，
，故
的取值范围是
.……14分