1、（2009番禺一模）已知等比数列的各项均为正数，前项之积为，若＝，则必有（ 　）

A．＝1　　　   　  B．＝1　　　    C．＝1　　 　  D．＝1

B

2、（2009江门一模）已知数列的前项和，是等比数列的充要条件是

A.        B           C.              D.

D

3、（2009茂名一模）已知等差数列的公差为，且成等比数列，则等于（   ）

A、-4               B、-6              C、-8          D、8

D

4、（2009汕头一模）记等比数列｛a_n｝的前n项和为S_n，若S₃＝2，S₆＝18，则等于（）

  A. - 3 　　B?5　　 C一31　　　D. 33

D

5、（2009深圳一模）在等差数列中，，表示数列的前项和，则

A．                        B．                         C．                      D．

B

1、（2009广州一模）已知数列{a_n}的前n项和为S_n，对任意n∈N*

都有，且1<S_k<9，则a₁的值为______，k的的值为________.

－1,4

2、（2009江门一模）是等差数列的前项和，若，，

则         ．

3、（2009韶关一模）在由正数组成的等比数列中,

则___.

16

1、（2009广州一模）已知数列{a_n}的相邻两项a_n，a_n+1是关于x 的方程x²－2ⁿ x+ b_n=0 (n∈N^*)的两根，且a₁=1.

(1)求证：数列{ a_n－×2ⁿ}是等比数列；

(2)设S_n是数列{a_n}的前n项的和，问是否存在常数λ，使得b_n－λS_n>0对任意n∈N^*都成立，若存在，求出λ的取值范围；若不存在，请说明理由.     

(本题主要考查数列的通项公式、数列前n项和、不等式等基础知识，考查化归与转化、分类与整合、特殊与一般的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和抽象概括能力)

(1)证法1：∵a_n，a_n+1是关于x 的方程x²－2ⁿ x+ b_n=0 (n∈N^*)的两根，

∴                                        ……2分

由a_n+a_n+1=2ⁿ，得，故数列

是首项为，公比为－1的等比数列.                 ……4分

证法2：∵a_n，a_n+1是关于x 的方程x²－2ⁿ x+ b_n=0 (n∈N^*)的两根，

∴                                        ……2分

∵，

故数列是首项为，公比为－1的等比数列.             

   ……4分

(2)解：由(1)得，即，

∴

                             ……6分

∴S_n=a₁+ a₂+ a₃+…+ a_n=[(2+2²+2³+…+2ⁿ)－[(－1)+ (－1)²+…+(－1)ⁿ]

，                        ……8分

要使得b_n－λS_n>0对任意n∈N^*都成立，

即对任意n∈N*都成立.

①当n为正奇数时，由(*)式得，

即，

∵2ⁿ⁺¹－1>0，∴对任意正奇数n都成立.

当且仅当n=1时，有最小值1，∴λ<1.           ……10分

①当n为正奇数时，由(*)式得，

即，

∵2ⁿ⁺¹－1>0，∴对任意正奇数n都成立.

当且仅当n=1时，有最小值1，∴λ<1.           ……10分

②当n为正偶数时，由(*)式得，

即，

∵2ⁿ－1>0，∴对任意正偶数n都成立.

当且仅当n=2时，有最小值1.5，∴λ<1.5.      ……12分

综上所述，存在常数λ，使得b_n－λS_n>0对任意n∈N^*都成立，λ的取值范围是(－∞，1).                                            ……14分

2、（2009广东三校一模）,是方程的两根,数列的前项和为,且

(1)求数列,的通项公式;

(2)记=,求数列的前项和.

 解：(1)由.且得           2分

,                      4分

在中,令得当时,T=,

两式相减得,      6分

.                   8分

(2),                        9分

,,     10分

=2

=,               13分

                 14分     

3、（2009东莞一模）设等差数列前项和满足，且，S₂=6；函数，且

   （1）求A； 

（2）求数列的通项公式；

   （3）若

_{解：（1）由}   而

  解得A=1……………………………………2分

（2）令  

当n=1时，a₁=S₁=2,当n≥2时，a_n=S_n－S_n-1=n²+n

综合之：a_n=2n…………………………………………6分

由题意

∴数列{c_n+1}是为公比，以为首项的等比数列。

………………………9分

（3）当

………………………11分

当

………13分

综合之：

………14分

4、（2009番禺一模）设数列对一切正整数均有，且 ，如果，．

（1）求，的值；

（2）求数列的通项公式；

（3）设数列前项之积为，试比较与的大小，并证明你的结论．

（1）依题意：，则，

而，又，所以，                       ………………1分

同样可求得，                                       ………………2分

（2）猜测，）                            ………………4分

①用数学归纳法证明：显然时猜想正确，                    ………………5分

②假设时猜想成立，即，

则时，∵，∴，即，而

故,                             ………………6分

这就是说猜想也成立,故对任意正整数都有． ………………7分

（3）                                                ……………9分

证明: ，

则，           ………10分

则                          

 ∴        ………11分

设,，则，

即为上的减函数，∴，故时，，  ……12分

而，∴，

∴                                        ………13分

∴，，

则，即．                                          14分

5、（2009江门一模）已知等差数列和正项等比数列，，．

⑴求、；

⑵对，试比较、的大小；

⑶设的前项和为，是否存在常数、，使恒成立？若存在，求、的值；若不存在，说明理由．

解：⑴由，得-------1分   由且得-------2分

所以，-------4分

⑵显然，时，；时，，，-------5分

时，

-------6分  -------7分

因为、，所以时，-------8分

⑶-------9分，

恒成立，则有-------11分，解得，-------12分

，

-------13分

所以，当，时，恒成立-------14分

6、（2009汕头一模）在等比数列｛a_n｝中，a_n＞0 (nN^＊），公比q(0,1)，且a₁a₅ + 2a₃a₅ +a ₂a₈＝25，

a₃与a_s的等比中项为2。

    （1)求数列｛a_n｝的通项公式；

  (2)设b_n＝log₂ a_n，数列｛b_n｝的前n项和为S_n当最大时，求n的值。

解：（1）因为a₁a₅ + 2a₃a₅ +a ₂a₈＝25，所以， + 2a₃a₅ +＝25

    又a_n＞o，…a₃＋a₅＝5，…………………………2分

又a₃与a₅的等比中项为2，所以，a₃a₅＝4

而q（0,1），所以，a₃＞a₅，所以，a₃＝4，a₅＝1，，a₁＝16，所以，

…………………………6分

（2）b_n＝log₂ a_n＝5－n，所以，b_n＋1－b_n＝－1，

所以，{b_n}是以4为首项，－1为公差的等差数列。。。。。。。。。9分

所以，  

所以，当n≤8时，＞0，当n＝9时，＝0，n＞9时，＜0，

当n＝8或9时，最大。　　…………………………12分

7、（2009韶关一模）已知函数

（I）求

（II）已知数列满足,,求数列的通项公式;

(Ⅲ) 求证:.

解:()因为

所以设S=（1）

        S=……….(2)

(1)+(2)得:

   =,   所以S=3012

()由两边同减去1,得

所以,

所以,是以2为公差以为首项的等差数列,

所以

因为

    所以

所以

>

8、（2009深圳一模理）已知函数，为函数的导函数．

（Ⅰ）若数列满足：，（），求数列的通项；

（Ⅱ）若数列满足：，（）．

（?）当时，数列是否为等差数列？若是，请求出数列的通项；若不是，请说明理由；

（?）当时， 求证：．

【解】（Ⅰ），                 …………………………1分

，

即．                         …………………………3分

，   数列是首项为，公比为的等比数列．

，即．                  …………………………5分

（Ⅱ）（?），

．

当时，．

假设，则．

由数学归纳法，得出数列为常数数列，是等差数列，其通项为．   …………8分

（?）， ．

当时，．

假设，则 ．

由数学归纳法，得出数列．……………10分

又，

，

即．                 …………………………12分

．

，

．                 　   …………………………14分

10、（2009深圳一模文）设数列的前项和为，，且对任意正整数,点在直线上.

(Ⅰ) 求数列的通项公式；

（Ⅱ）是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，则说明理由.

（Ⅲ）求证： .

解：(Ⅰ)由题意可得：

                      ①

时,              ②         ……………………  1分

  ①─②得，                       ……………………  3分

是首项为，公比为的等比数列，  ………………  4分

（Ⅱ）解法一:                    ………………  5分

若为等差数列，

则成等差数列,       ………………  6分

得                                             ………………  8分

又时，，显然成等差数列，

故存在实数，使得数列成等差数列.  ………………  9分

解法二:                              ………………  5分

     ……………  7分

欲使成等差数列,只须即便可.      ……………8分

故存在实数，使得数列成等差数列.     ………………  9分

（Ⅲ）   ……  10分

                  …………  11分

                               …………  12分

又函数在上为增函数，   

，                                    …………  13分

，． ………  14分

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