广东省2009届高三数学一模试题分类汇编――立体几何文
珠海市第四中学 邱金龙
一、选择题填空题
1、（2009广州一模）.一个几何体的三视图及其尺寸(单位：cm)
如图3所示，则该几何体的侧面积为_______cm2.
80
2、（2009广东三校一模）如图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为2的正方形，俯视图是一个直径为2的圆，那么这个几何体的全面积为 （ ）
A．
 |
B
C．
D．
C
3、（2009东莞一模）若
为一条直线,
为三个互不重合的平面,给出下面三个命题: ① 
② 
∥
③ ∥
. 其中正确的命题有（ ）
A.
个
B.
个 C.
个 
D.
个
C
4、（2009番禺一模）一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图中△ABC是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的侧视图的面积为（ ）．
A．12 B．
C．
D．6
C
5、（2009汕头一模）在空间中，有如下命题：
①互相平行的两条直线在同一个平面内的射影必然是互相平行的两条直线；
②若平面α∥平面β，则平面α内任意一条直线m∥平面β；
③若平面α与平面β的交线为m，平面α内的直线n⊥直线m，则直线n⊥平面β；
④若平面α内的三点A, B, C到平面β的距离相等，则α∥β．
其中正确命题的个数为（ ）个。
A ．0 B ．
B
6、（2009湛江一模）用单位立方块搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如右
图所示，则它的体积的最小值与最大值分别为
A．
与
B．
与
C．与
D．与
C
二、解答题
1、（2009广州一模）图4，A
(1)求证: BC⊥平面A
(2)求三棱锥A1-ABC的体积的最大值.
证明:∵C是底面圆周上异于A，B的任意一点，
且AB是圆柱底面圆的直径，
∴BC⊥AC, ……2分
∵AA1⊥平面ABC，BCÌ平面ABC，
∴AA1⊥BC， ……4分
∵AA1∩AC=A，AA1Ì平面AA1 C，
ACÌ平面AA
∴BC⊥平面AA
(2)解法1：设AC=x，在Rt△ABC中，
(0<x<2) ,
……7分
故
(0<x<2),
……9分
即
. ……11分
∵0<x<2，0<x2<4，∴当x2=2，即
时，
三棱锥A1-ABC的体积的最大值为.
……14分
解法2: 在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2=4， ……7分
……9分
.
……11分
当且仅当 AC=BC 时等号成立，此时AC=BC=
.
2、（2009广东三校一模）
如图，在组合体中，
是一个长方体，
是一个四棱锥．
，
，点
且
．
（Ⅰ）证明：
；
（Ⅱ）求
与平面
所成的角的正切值；
（Ⅲ）若
，当
为何值时，
．
(Ⅰ)证明：因为，
，所以
为等腰直角三角形，
所以
．????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 1分
因为是一个长方体，所以
，?????????????????????????? 2分
而，所以
，所以
．??????????????????????????? 3分
因为
垂直于平面
内的两条相交直线
和
，????????????????????????????????? 4分
（
）
由线面垂直的判定定理，（不说也可）
可得．
Ⅱ)解：过
点在平面
作
于
，连接
．
6分
因为
，所以
，
7分
所以
就是与平面所成的角 8分
因为
，
，所以
．
9分
所以与平面所成的角的正切值为
． 10分
(Ⅲ)解：当
时，
． 11分
当时，四边形是一个正方形，所以
，而
，
所以
，所以
． 12分
而
，
与在同一个平面内，所以
． 13分
而
，所以
，所以．
14分
3、（2009东莞一模）如图，四边形
为矩形，
平面
，
为
上的点，且
平面
.
(1)求证：
；
(2)设点
为线段
的中点，点
为线段的中点．求证：
平面
．
（1）证明：因为
，
，
所以
，…………………………………2分
又
，
，
所以
， ……………………………4分
又
，所以
……………6分
又
，所以． ………………………8分
（2）取
的中点
，连接
，因为点
为线段
的中点．
所以
||
，且
， ………………………………10分
又四边形是矩形，点
为线段
的中点，所以
||
，且
，
所以||
，且
，故四边形
是平行四边形，所以
||
………………………12分
而
平面，
平面，所以
∥平面
． ………14分
4、（2009番禺一模）如图，在棱长均为2的三棱柱
中，设侧面四边形
的两对角线相交于
，
若
⊥平面
，
.
(1) 求证：
⊥平面；
(2) 求三棱锥
的体积.
（1）证明：∵⊥平面，而AO
平面
∴⊥ ………2分
∵
,
∴
，而BCFE为菱形，则为
中点，
∴⊥,
…………4分
且
∴⊥平面
.
……………6分
（2）
∥
,
∥平面
∴点
、
到面的距离相等
………8分
……………9分
∵ ，AO=AO
∴
AOE≌AOB，得OE=OB ，即EC=FB，
而BCFE为菱形，则BCFE是正方形， ……………10分
计算得AO=，
的面积等于正方形BCFE的一半
， ……………12分
因此 
……………14分
5、（2009江门一模）如图5，四棱锥
，
≌
，在它的俯视图中，
，
，
．
⑴求证：
是直角三角形；
⑵求四棱锥
的体积．
⑴由已知，点在底面上的投影是点，所以
--------2分
因为、
，所以
，
---------------------3分
因为≌，所以
，
-------4分
因为
，所以平面
-------5分
所以
，是直角三角形----------6分
⑵连接
，因为，
，所以
是等边三角形-------7分
在
中，根据多边形内角和定理计算得
--------8分，又因为
，所以
-------------9分，所以
，
，所以
----------11分，又
----------12分，所以，四棱锥
的体积
-----------14分
6、（2009茂名一模）如图1所示，正
的边长为沿CD翻折，使翻折后平面ACD
平面BCD（如图2）
（1）试判断翻折后直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；
（2）求三棱锥C-DEF的体积。
解：
（1）判断：AB//平面DEF………………………………………………..2分
证明：
因在中，E，F分别是
AC，BC的中点，有
EF//AB………………..5分
又因
AB
平面DEF，
EF平面DEF…………..6分
所以
AB//平面DEF……………..7分
（2）过点E作EMDC于点M，
面ACD面BCD，面ACD
面BCD＝CD，而EM面ACD
故EM平面BCD 于是EM是三棱锥E-CDF的高……………………………..9分
又CDF的面积为
EM＝
……………………………………………………………………11分
故三棱锥C-DEF的体积为
7、（2009汕头一模）如图，己知∆BCD中，∠BCD = 900，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB二600，E、F分别是AC、AD上的动点，且
（1）求证：不论
为何值，总有EF⊥平面ABC：
（2）若＝
，求三棱锥A－BEF的体积．
（1）证明：因为AB⊥平面ABCD，所以AB⊥CD，
又在△BCD中，∠BCD = 900，所以，BC⊥CD，又AB∩BC＝B，
所以，CD⊥平面ABC，………………………………………………3分
又在△ACD，E、F分别是AC、AD上的动点，且
所以，不论为何值，总有EF⊥平面ABC：…………………………6分
（2）解：在△BCD中，∠BCD = 900，BC＝CD＝1，所以，BD＝,
又AB⊥平面BCD，所以，AB⊥BC，AB⊥BD，
由（1）知EF⊥平面ABE，
所以，三棱锥A－BCD的体积是
………………………………………………14分
8、（2009深圳一模）图，为圆的直径，点
、在圆上，
，矩形所在的平面和圆所在的平面互相垂直，且
，
.
（Ⅰ）求证：
平面
；
（Ⅱ）设
的中点为，求证：
平面
；
(Ⅲ) 设平面将几何体
分成的两个锥体的体积分别为
，
，求
．
（Ⅰ）证明： 
平面
平面
,
,
平面
平面=，
平面，
平面，
,……… 2分
又
为圆的直径，
，
…………………… 4分
平面。
…………………… 5分
（Ⅱ）设
的中点为，则
，又
，
则，
为平行四边形，
…………………… 8分
，又
平面，
平面，
平面。
…………………… 10分
(Ⅲ)过点作
于
，平面平面，
平面，
， …………………… 12分
平面，
，………………… 13分
．
…………………… 14分
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