1、（2009揭阳）某师傅需用合板制作一个工作台，工作台由主体和附属两部分组成，主体部分全封闭，附属部分是为了防止工件滑出台面而设置的三面护墙，其大致形状的三视图如右图所示(单位长度: cm), 则按图中尺寸，做成的工作台用去的合板的面积为（制作过程合板的损耗和合板厚度忽略不计）（　　）D w

.w.w.k.s.5.u.c.o.m

A.        　　        B  

C.      　    D.

2、（2009广东五校）在下列关于直线、与平面、的命题中，真命题是（   ）B

（A）若，且，则                （B）若，且，则

（C）若，且，则            （D）若，且，则

3、（2009番禺）一个几何体的三视图如右图，其中主视图和左视图都是边长为1的正三角形，那么这个几何体的侧面积为（　　）A

   A．               B．           C．          D．

4、（2009吴川）已知α、β是两个不同平面，m、n是两条不同直线，则下列命题不正确的是(    )D

       A．则                        B．m∥n，m⊥α，则n⊥α

       C．n∥α，n⊥β，则α⊥β       D．m∥β，m⊥n，则n⊥β

5、（2009北江中学）如图是一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图，如果主视图、左视图所对应的三角形皆为边长为2的正三角形，主视图对应的四边形为正方形，那么这个几何体的体积为（　　）B w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

  A．     B．       C．      D．不确定

6、（2009北江中学）已知是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出下列命题：

①若；

②若；

③如果相交；

④若

其中正确的命题是 （    ） D

       A．①②                               B．②③                C．③④               D．①④

7、（2009珠海）已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（ C  ）

A．           B．       

C．        D．

8、（2009潮州）设、、是空间不同的直线或平面，对下列四种情形：

① 、、均为直线；② 、是直线，是平面；③ 是直线，、是平面；④ 、、均为平面。

其中使“⊥且⊥∥”为真命题的是 （　　）C

     A ③ ④           B ① ③                       C ② ③                    D ① ②

9、（2009澄海）设m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出下列四个命题：

①若m⊥，n∥，则m⊥n；

②若∥，∥，m⊥，则m⊥；

③若m∥，n∥，则m∥n；

④若⊥，⊥，则∥．

其中正确命题的序号是（　　）A

A．①和②        B．②和③      C．③和④       D．①和④

10、（2009韶关田家炳）设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中，其中正确的命题是（     ）

A.        B.

C.         D.

1、（2009广雅期中）已知四棱锥的三视图如下图所示，是侧棱上的动点.

(1) 求四棱锥的体积；

(2) 是否不论点在何位置，都有？证明你的结论；

(3) 若点为的中点，求二面角的大小.

2、（2009广雅期中）如图，已知平面，平面，△为等边三角形，

，为的中点.

(1) 求证：平面；

(2) 求证：平面平面；

(3) 求直线和平面所成角的正弦值.

3、（09广东四校理期末）如图所示,在矩形ABCD中，AD=2AB=2，点E是AD的中点，将△DEC沿CE折起到△D′EC的位置，使二面角D′―EC―B是直二面角.

    （1）证明：BE⊥C D′；

    （2）求二面角D′―BC―E的正切值.

4（09广东四校文期末）如图：直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，  AC=BC=AA₁=2，∠ACB=90°.E为BB₁的中点，D点在AB上且DE=.

（Ⅰ）求证：CD⊥平面A₁ABB₁；

（Ⅱ）求三棱锥A₁－CDE的体积.

5、（09北江中学文期末）如图，在底面是矩形的四棱锥中，面，、为别为、

的中点，且， ，

（Ⅰ）求四棱锥的体积；

（Ⅱ）求证：直线∥平面

6、（2009广东东莞）在直三棱柱中，，，且异面直线与所成的角等于，设.

（1）求的值；

（2）求平面与平面所成的锐二面角的大小.

7、（2009广州海珠）如图6，在直角梯形ABCP中，AP//BC，APAB，AB=BC=，D是AP的中点，E，F，G分别为PC、PD、CB的中点，将沿CD折起，使得平面ABCD,如图7.

（Ⅰ）求证：AP//平面EFG；

 (Ⅱ) 求二面角的大小;

（Ⅲ）求三棱椎的体积.

8、（2009广州（一））如图，四棱锥中，平面，四边形是矩形，、分别是、的中点．若，．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ） 求点到平面的距离；

（Ⅲ）求直线平面所成角的正弦值．

9、（2009广东揭阳）如图，已知是底面为正方形的长方体，，，点是上的动点．

（1）试判断不论点在上的任何位置，是否都有平面

垂直于平面？并证明你的结论；

（2）当为的中点时，求异面直线与所成角的余弦值；

（3）求与平面所成角的正切值的最大值．

10、（2009广东潮州期末）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，垂直于底面，分别为的中点。                                       

(1)求证：；（2）求与平面所成的角；（3）求截面的面积。

11、（2009珠海期末）已知平面，，与交于点，，，

（1）取中点，求证:平面。

（2）求二面角的余弦值。

12、（2009中山期末）如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，

       （I）求证：平面BCD；

       （II）求异面直线AB与CD所成角的余弦；

       （III）求点E到平面ACD的距离．

答案：

1、解：(1) 由三视图可知，四棱锥的底面是边长为1的正方形，

侧棱底面，且.                             …………2分

∴，

即四棱锥的体积为.                                …………4分

(2) 不论点在何位置，都有.                              …………5分

证明如下：连结，∵是正方形，∴.           …………6分

∵底面，且平面，∴.        …………7分

又∵，∴平面.                         …………8分

∵不论点在何位置，都有平面. 

∴不论点在何位置，都有.                           …………9分

(3) 解法1：在平面内过点作于，连结.

∵，，，

∴Rt△≌Rt△，

从而△≌△，∴.

∴为二面角的平面角.                              …………12分

在Rt△中，，

又，在△中，由余弦定理得

，              …………13分

∴，即二面角的大小为.           …………14分

解法2：如图，以点为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角

坐标系. 则，从而

，，，. …………10分

设平面和平面的法向量分别为

，，

由，取.      …………11分

由，取.  …………12分

设二面角的平面角为，则，         …………13分

  ∴，即二面角的大小为.        …………14分

2、方法一：

(1) 证法一：取的中点，连.

∵为的中点，∴且. …………1分

∵平面，平面，

∴，∴.                    …………2分

又，∴.                  …………3分

∴四边形为平行四边形，则.    …………4分

    ∵平面，平面，

∴平面.                          …………5分

证法二：取的中点，连.

∵为的中点，∴.                     …………1分

∵平面，平面，∴.             …………2分

又，

∴四边形为平行四边形，则.                …………3分

∵平面，平面，

∴平面，平面.

又，∴平面平面.             …………4分

    ∵平面，

∴平面.                      …………5分

(2) 证：∵为等边三角形，为的中点，∴.      …………6分

∵平面，平面，∴.           …………7分

又，故平面.                   …………8分

∵，∴平面.                       …………9分

∵平面，

∴平面平面.                 …………10分(3)

解：在平面内，过作于，连.

  ∵平面平面， ∴平面.

∴为和平面所成的角.                  …………12分

设，则，

，

R t△中，.

∴直线和平面所成角的正弦值为.                                                           …………14分

方法二：

设，建立如图所示的坐标系，则

.…………2分

∵为的中点，∴.                  …………3分

 (1) 证：，        …………4分

∵，平面，∴平面.  …………5分

 (2) 证：∵，         …………6分

∴，∴.      …………8分

∴平面，又平面，

∴平面平面.                    …………10分

 (3) 解：设平面的法向量为，由可得：

     ，取.       …………12分

     又，设和平面所成的角为，则

    .

∴直线和平面所成角的正弦值为.             …………14分

3、解：（1）∵AD=2AB=2，E是AD的中点，

       ∴△BAE，△CDE是等腰直角三角形，

易知, ∠BEC=90°，即BE⊥EC.

       又∵平面D′EC⊥平面BEC，面D′EC∩面BEC=EC,

       ∴BE⊥面D′EC，又C D′Ì 面D′EC ,  ∴BE⊥CD′；

   （2）法一：设M是线段EC的中点，过M作MF⊥BC

       垂足为F，连接D′M，D′F，则D′M⊥EC.

       ∵平面D′EC⊥平面BEC,

       ∴D′M⊥平面EBC,

       ∴MF是D′F在平面BEC上的射影，由三垂线定理得：

         D′F⊥BC

       ∴∠D′FM是二面D′―BC―E的平面角.

       在Rt△D′MF中，D′M=EC=，MF=AB=

       ∴

       即二面角D′―BC―E的正切值为.

       法二：如图，以EB，EC为x轴、y轴，过E垂直于平面BEC的射线为z轴，建立空间直角坐标系.

       则B（，0，0），C（0，，0），D′（0，，）

       设平面BEC的法向量为；平面D′BC的法向量为

        Þ tan= ∴二面角D′―BC―E的正切值为.

4、解：(1)在Rt△DBE中，BE=1，DE=，∴BD=== AB，∴  则D为AB中点,  而AC=BC， ∴CD⊥AB                                                             

 又∵三棱柱ABC－A₁B₁C₁为直三棱柱, ∴CD⊥AA₁

 又 AA₁∩AB=A 且 AA₁、AB Ì 平面A₁ABB₁

 故 CD⊥平面A₁ABB₁                                                                                  6分

（2）解：∵A₁ABB₁为矩形，∴△A₁AD，△DBE，△EB₁A₁都是直角三角形，

∴  

       =2×2－××2－××1－×2×1=

∴   V_A1－CDE =V_C－A1DE = ×S_A1DE ×CD= ××=1

∴   三棱锥A₁－CDE的体积为１．                                                                 14分

5、解：（1）取AD的中点O，连接EO,则EO是PAD的中位线，得EO∥PA,故EOABCD,

EO是四棱锥的高，  6分

（2）取PC的中点G,连EG,FG, 由中位线得EG∥CD,EG=CD=AF,  四边形AFGE是平行四边形， ∥  6分

6、解法一：（1），

就是异面直线与所成的角，

即，……（2分）

连接，又，则

为等边三角形，……………………………4分

由，，

；………6分

（2）取的中点，连接，过作于，连接，

,平面

                             ………………8分

又，所以平面，即，

所以就是平面与平面所成的锐二面角的平面角。…………10分

在中，，，,

，…………………………13分

因此平面与平面所成的锐二面角的大小为。…………14分

说明：取的中点，连接，…………同样给分（也给10分）

解法二：（1）建立如图坐标系，于是，，，（）

，， …………3分

由于异面直线与所成的角，

所以与的夹角为

即

………6分

（2）设向量且平面

于是且，即且，             

又，，所以，不妨设……8分

同理得，使平面，（10分）

设与的夹角为，所以依，

，………………12分

平面，平面，

因此平面与平面所成的锐二面角的大小为。…………14分

说明：或者取的中点，连接，于是显然平面

7、解:(Ⅰ) 证明:方法一)连AC,BD交于O点,连GO,FO,EO.

∵E,F分别为PC,PD的中点,,同理,

四边形EFOG是平行四边形,平面EFOG. ……3分

又在三角形PAC中,E,O分别为PC,AC的中点,PA//EO……4分

平面EFOG,PA平面EFOG, ……5分

PA//平面EFOG,即PA//平面EFG. ……6分

方法二) 连AC,BD交于O点,连GO,FO,EO.

∵E,F分别为PC,PD的中点,,同理

又,

平面EFG//平面PAB, ……4分

又PA平面PAB,平面EFG. ……6分

方法三)如图以D为原点,以

为方向向量建立空间直角坐标系.

则有关点及向量的坐标为:

……2分

设平面EFG的法向量为

取.……4分

∵,……5分

又平面EFG. AP//平面EFG. ……6分

(Ⅱ)由已知底面ABCD是正方形,又∵面ABCD

又

平面PCD,向量是平面PCD的一个法向量,=……8分

又由(Ⅰ)方法三)知平面EFG的法向量为……9分

……10分

结合图知二面角的平面角为……11分

(Ⅲ) ……13分