长春市2009年高中毕业班第三次调研测试数学试题本试卷分为第I卷和第Ⅱ卷两部分.试卷满分150分．做题时间为120分钟.考试结束后.将试卷和答题卡一并交回.注意事项: 1．答题前.考生必须将自己的——青夏教育精英家教网——

长春市2009年高中毕业班第三次调研测试

数学试题（理科）

本试卷分为第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，试卷满分150分．做题时间为120分钟。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

注意事项：

1．答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形

码区域内。

2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字

体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草

稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀。

第I卷（选择题，共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上。）

1．= （）

A． B． C． D．

2．已知命题“若p则q”为真命题，命题“若q则p”为假命题，那么p是q的（）

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

3．集合，则集合M中元素个数为（）

A．1 B．2 C．4 D．5

4．现有两名教师和4名学生排成一排拍照，要求每一位教师两边都有学生，有多少种不同的排法（）

A．144 B．256 C．288 D．480

5．设函数= （）

A．6 B．―6 C．2 D．0

7．已知成等比数列，则有（）

A． B．

C． D．

8．设地球仪半径为R，在北纬45⁰纬线圈上A、B两点的经度差为90⁰，则A、B两点的球面距离为（）

A． B． C． D．

9．关于函数的性质说法正确的是（）

A．奇函数且在R上为增函数 B．奇函数且在R上为减函数

C．偶函数且在R上为增函数 D．偶函数且在R上为减函数

10．在项的系数为（）

A．―35 B．35 C．―21 D．21

11．已知双曲线的取值范围是

（）

A． B． C． D．

12．已知函数与函数

= （）

A．0 B．1 C．―2008 D．―2009

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）

13．函数的定义域为。

14．在△ABC中，点D满足= 。

15．某地区中学高三共有10000人参加模拟考试，数学考试的成绩（试卷满分150分）服从正态分布，统计结果显示学生考试成绩在60分到90分之间的人数约为总人数的，则此次考试成绩不低于90分的学生约有人。

16．给出下列命题：

①两异面直线角，过空间一定点O且与两异面直线a、b均成60⁰角的直线有且只有1条；

20090515

③两平面，过空间一定点O且与两平面角的直线有且只有1条。

则上述命题中正确的有（将你认为正确说法前面的序号填上）。

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分10分）

已知分别为角A，B，C所对的边，

（1）求角A的大小；

（2）若的最大值。

18．（本小题满分12分）

甲、乙两名教师进行乒乓球比赛，采用七局四胜制（先胜四局者获胜），若每一局比赛甲获胜的概率为乙获胜的概率为，现已赛完两局，乙暂时以2：0领先。

（1）求甲获胜的概率；

（2）设比赛结束时比赛的局数为随机变量ξ，求Eξ。

19．（本小题满分12分）

如图，正四棱柱ABCD―A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2AB=4，点E在CC₁上，且CE=λCC₁。

（1）λ为何值时，A₁C⊥平面BED；

（2）若A₁C⊥平面BED，求二面角A₁―BD―E的大小。

20．（本小题满分12分）

在数列成等差数列，成等比数列，

（1）求的通项公式，并证明你的结论；

（2）证明：

21．（本小题满分12分）

已知函数

（1）求函数的单调区间和极值；

20090515

（3）对于实数a，讨论关于x的方程的实根的个数。

22．（本小题满分12分）

抛物线的焦点为F，M是其准线l上一点，直线MF与抛物线相交于A、B两点，令O是坐标原点，K是准线l与x轴的交点。

（1）求证：

（2）当时，求直线AB的斜率；

说明：

一、本解答给出一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。

二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分。

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得累加分。

四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数。

一、选择题：每小题5分，满分60分。

1―5 DBCAB 6―10 ABDAD 11―12CC

二、填空题：每题5分，共20分

13． 14． 15．2000 16．②③

三、解答题（满分70分）

17．本小题主要考查正弦定理、余弦定理，三角形面积公式等基础知识。

解：（1）

（5分）

（2）将，

18．本小题主要考查概率的基本知识与分类思想，独立重复试验概率问题，考查运用数学知

识分析问题解决问题的能力。

解：（1）设甲获胜为事件B，则甲获胜包括甲以4：2获胜和甲以4：3获胜两种情况：

（5分）

（2）随机变量ξ可能的取值为4，5，6，7，

ξ的分布列为：

ξ

4

5

6

7

P

（12分）

19．本小题主要考查正四棱柱中线线位置关系、线面垂直判定、三垂线定理、二面角等基础知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力、运算能力以及空间向量的应用。

∵AC⊥BD，∴A₁C⊥BD，

若A₁C⊥平面BED，则A₁C⊥BE，

由三垂线定理可得B₁C⊥BE，

∴△BCE∽△B₁BC，

（2）连A₁G，连EG交A₁C于H，则EG⊥BD，

∵A₁C⊥平面BED，

∴∠A₁GE是二面角A₁―BD―E的平面角。（8分）

（12分）

（1）以D为坐标原点，射线DA为x轴的正半轴，

射线DC为y轴的正半轴，建立如图所示直角坐

标系D―xyz。

（6分）

（2）设向量的一个法向量，

（12分）

20．本小题主要考查等差数列、等比数列定义，求通项、数列求和等基础知识，考查综合分析问题的能力和推理论证能力。

解：（1）成等比数列，

（1分）

猜想：（4分）

下面用数学归纳法加以证明：

由上可知猜想成立

（2）

21．解：（1）函数

对求导得

0

（0，1）

1

―

―

0

+

0

―

极小

极大

从而是函数的单调递减区间，（0，1）是的单调递增区间，并且当

（2）设曲线，则切线的方程为

（3）根据上述研究，对函数分析如下：

交点的横坐标，交点的个数即为方程的实根的个数。

因此当a=0时，原方程只有一个实数根；

22．解：（1）分别过A、B作准线l的垂线，A₁、B₁为垂足，则根据抛物线定义得

|AA₁|=|AF|，|BB₁|=|BF|，

∽Rt△MAA₁，

（2）

①

②

把②两边平方得

又代入上式得

把③代入①得

（6分）

（3）设直线AB的倾斜角为，根据对称性只需研究是锐角情形，不妨设是锐角，

则

从而

（7分）

根据（2）知而函数上是增函数，

即（9分）

取得极小值；也就是最小值，