湖南省长沙一中2008-2009学年高三第八次月考
数 学(文科)
本试卷共3大题21小题，全卷总分150分，考试时间120分钟．
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．设集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．在抽查某产品尺寸过程中，将其尺寸分成若干组，[a，b]是其中的一组
已知该组上的直方图的高为h，则该组的频率为
A．
B．
C．
D．
3．函数
的反函数为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．若－1＜
＜
＜1，则下列不等式中恒成立的是（
）
A．－1＜－＜1 B．－2＜－＜－1
C．－2＜－＜0 D．－1＜－＜0
5．
的各项系数之和大于8且小于32,则展开式中系数最大的项是（ ）
6. 过点
作直线
，如果它与双曲线
有且只有一个公共点，则直线的条数是（ ）A．
B．
C．
D．
7. 在△ABC中，若
，
，
，则
的值为 （ ） A．
B．
C．
D． 
8．已知三棱锥D―ABC的三个侧面均与底面全等，且AB＝AC＝
，BC＝2，则二面角D-BC-A为 （ ）
A．300 B．
9．如图，是判断年份Y是否闰年的流程，则以下年份是闰年的是
A .2009 B .2100
C .1996 D. 2007
10.已知函数
表示过原点的曲线，且在
处的切线斜率均为-1，有以下命题
①f(x)的解析式为：f(x)=x3-4x，x∈[-2，2]；
②f(x)的极值点有且仅有一个；
③f(x)的最大值与最小值之和等于零；
其中正确的命题个数为
A. 0 B.
横线上）
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.将答案填在题中的
11．已知向量
，且
，则
__________．
12. 有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就坐，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这两人不左右相邻，那么不同的排法种数是
13．若以连续掷两次骰子所得的点数x，y为点P的坐标，则点P落在圆
的内部的概率是
.
14.已知
，
若
，则
，满足条件
的其中一个元素是
.（只写出一个即可）.
15 . 欧美等国家流行一种“数独”推理游戏，其游戏规则如下：
4
9
A
3
5
7
2
6
3
5
4
2
8
6
9
1
7
6
9
3
5
4
2
8
9
C
B
5
1
2
8
7
6
4
①在9×9的九宫格子中,分成9个3×3的小九宫格,用1到9这9个数字填满整个格子;
②每一行与每一列都有1到9的数字，每个小九 宫格里也有1到9的数字，并且一个数字在每行、每列及每个小九宫格里只能出现一次，既不能重复也不能少. 那么A处应填入的数字为 ;B处应填入的数字为 ;C处应填入的数字为________.
三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（本小题满分12分）
已知函数
R．
(Ⅰ)求函数
的最大值；
(Ⅱ)试说明函数的图像可由函数
R的图像经过怎样变换得到？
17．(本小题满分12分)
2008年中国北京奥运会吉祥物由5个“中国福娃”组成，分别叫贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮。现有8个相同的盒子，每个盒子中放一个福娃，每种福娃的数量如下表：
福娃名称
贝贝
晶晶
欢欢
迎迎
妮妮
数 量
2
2
2
1
1
从中随机地选取5只．
（Ⅰ）求选取的5只福娃恰好组成完整“奥运会吉祥物”的概率；
（Ⅱ）求选取的5只福娃距离组成完整“奥运会吉祥物”至少差一种福娃的概率．
18.（本小题满分12分）
如图，在棱长为1的正方体
中，
是侧棱
上的一点，
.
（Ⅰ）试确定
，使直线
与平面
所成角的正切值为
；
（Ⅱ）在线段
上是否存在一个定点
，使得对任意的，
在平面
上的射影垂直于，并证明你的结论.
19．（本小题满分13分）
已知
， 
（Ⅰ）若
，求函数在区间
的最大值与最小值；
（Ⅱ）若函数在区间
和
上都是增函数，求实数
的取值范围
20．(本大题满分13分)
设等差数列
、
的前n项和分别为
和
，
，且
，
；函数
是函数
的反函数，且
(n∈N，n > 1)，c1 = 1．
(1)求常数A的值及函数的解析式；
(2)求数列及
的通项公式；
(3)若
，试求
21．（本小题满分13分）
如图，在矩形ABCD中，已知A（2，0）、C（－2，2），点P在BC边上移动，线段OP的垂直平分线交y轴于点E，点M满足
（Ⅰ）求点M的轨迹方程；
（Ⅱ）已知点F（0，
），过点F的直线l交点M的轨迹于Q、R两点，且
求实数
的取值范围.
1.C.
集合
，且
，
．
2. D. 由直方图的意义即可直接求得结果．
3.
B．由
知，函数
是奇函数，排除C，D. 由
选B.
4. A. 显然函数是偶函数，排除C.函数图象经过原点O,于是排除B.当
时，函数
，其图象可由函数
的图象向左平移一个单位得到，故选A.
5.
C. 六个小组每小组4个队, 进行单循环赛的比赛场次一共有 6
,16个队进行淘汰赛比赛场次一共有
确定冠亚军一共需比赛
场次, 故选C.
6.B.如图所示,
就是二面角
的平面角,由图知的取值范围是
.
7. B. 依题意得，
若
，则
于是
而在椭圆上，故，代入整理得
又
，解得
．
8. C. 因为2009于2007不能被4整除，先排除A.D.又2100不能被400整除，所以2100不是闰年，排除B.从而选C.
9. B.设首项为
公差为
，则
。于是
过点
和
的直线斜率为
则过点和的直线的一个方向向量的坐标应选B.
10.
D. 易知点B在第一或第四象限.设过点A的直线与曲线C相切于点
, 则切线斜率为
,则
, 则切点为
,
要使视线不被C挡住,必须满足
故选D.
11.6．由
．
12．
.由已知等式易知
．取
取
13.
．点P的坐标有36种，而圆内部点的坐标必须满足
则点P落在圆
的内部的坐标种数为8种,
所以由等可能事件的概率计算公式得所求概率为
.
14．6.依题意得
显然函数的最大值为6．
15. 1， 3， 1． A处在9×9的九宫格子中的第2行，第3列，按照1到9的数字在每一行只能出现一次知，A处不能填入3，5，7，9；按照1到9的数字在每一列中只能出现一次知，A处不能填入2，4，6，8，综合知A处只能填入1．同理分析知C处只能填入１.B处只能填入３．
16(Ⅰ)
当
，
即
时，
有最大值1．此时函数的值最大,
最大值为
．
(Ⅱ) 将
的图像依次进行如下变换：
1.把函数的图像向下平移个单位长度，得到函数
的图像；
2.把得到的函数图像上各点横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到函数
的图像；
3.将函数的图像向右平移
个单位长度，
就得到函数
的图像．
或按如下平移变换：
1.把函数的图像向下平移个单位长度，得到函数的图像；
2.将函数的图像向右平移
个单位长度，就得到函数
的图像．
3.把得到的函数图像上各点横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到函数的图像
17．（I）由等可能事件的概率意义及概率计算公式得P==； 3分
（II）设选取的5只福娃恰好距离组成完整“奥运会吉祥物”差一种福娃记为事件
A,差两种福娃记为事件B, 依题意可知，所选５只福娃恰好距离组成完整“奥运会
吉祥物”最多差２只，则
７分
１０分
故选取的5只福娃距离组成完整“奥运会吉祥物”至少差一种福娃的概率为
＝
１２分
18.解法一：（１）如图：
故
.所以
.又
.
故
在
△
，即
.
故当时，直线
.
（Ⅱ）依题意，要在
上找一点
，使得
.可推测的中点
即为所求的点.因为
，所以
又
,故
.
从而
解法二：（１）建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(1,0,0), B(1,1,0), P(0,1,ｍ)，C(0,1,0), D(0,0,0), B1(1,1,1), D1(0,0,1).
所以
又由
的一个法向量.
设
与
所成的角为
，
则
依题意有：
，解得.
故当时，直线.
（２）若在上存在这样的点，设此点的横坐标为
，
则
.依题意，对任意的m要使D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP.等价于
，即为的中点时，满足题设的要求
19．（Ⅰ） 
,由
得
，
所以
.由
得
或
-2
-1
2
0
0
0
递增
递减
递增
0
由上表知：在区间
上的最大值为
，最小值为
.
（Ⅱ）的图像为开口向上且过点
的抛物线，由条件
，
，即
得
20. (1)解：由
知：
，
而
，
，解得
2分
令
，得
，即
R) 4分
(2)解：令
，∴
，即
.
当
时，
，
当n≥2时，
.
综合得：
6分
由题意：
，变形得：
，
∴数列
是以
为公比，
为首项的等比数列.
，即
． 9分
(3)解：当
(
N*)时，
11分
当
(N*)时，
． 13分
21．（I）依题意，设P（t,2）（－2≤t≤2），M（x，y）.
当t=0时，点M与点E重合，则M=（0，1）；
当t≠0时，线段OP的垂直平分线方程为：
显然，点（0，1）适合上式 .故点M的轨迹方程为x2=－4(y－1)( －2≤x≤2)
（II）设
得x2+4k－2=0.
设Q（x1,y1）、R（x2,y2），则
,
.消去x2，得
.
解得