青岛市2009年高三教学统一质量检测
数学（理） 2009.3
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必用2B铅笔和0.5毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．
3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效．
4．参考公式：
，标准差
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．复数
是虚数单位
的实部是
A．
B．
C．
D．
2.已知等差数列
的公差为
，且
，若
，则
为
A．
B. 
C．
D. 
3.已知直线
⊥平面
，直线
平面
，下面有三个命题：
①∥
⊥；②⊥∥；③∥⊥； 则真命题的个数为
A．
B． 
C．
D．
4．如右图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图
都是边长为的正三角形,其俯视图轮廓为正方形，则其体积是
A．
B. 
C． 
D. 
5．设点
，则
为坐标原点的最小值是
A．
B. 
C．
D.
6．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为
的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在
元的同学有
人，则的值为
A．
B. 
C．
D. 
7.已知
的二项展开式的各项系数和为
，则二项展开式中
的系数为
A． B. 
C．
D. 
8．若右面的程序框图输出的
是
，则①应为
A．
？ B.
？
C．
？ D.
？
9.已知
，则“
”是“
恒成立”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
10.设函数
，则下列结论正确的是
A．
的图像关于直线
对称
B．的图像关于点
对称
C．把的图像向左平移
个单位，得到一个偶函数的图像
D．的最小正周期为
，且在
上为增函数
11．已知点
、
分别为双曲线
：
的左焦点、右顶点，点
满足
，则双曲线的离心率为
A．
B.
C． 
D.
12.已知直线
及
与函数
图像的交点分别为
，与函数
图像的交点分别为
，则直线
与
A.相交，且交点在第I象限 B.相交，且交点在第II象限
C.相交，且交点在第IV象限 D.相交，且交点在坐标原点
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空：本大题共4小题，每小题4分，共16分．
13．
；
14．已知
，则
的值为
；
15．已知集合
,从集合中任选三个不同的元素
组成集合
，则能够满足
的集合
的概率为=
；
16．定义：区间
的长度为
.已知函数
的定义域为
，值域为
，则区间的长度的最大值与最小值的差为_________.
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17. （本小题满分12分）
在
中，分别是
的对边长，已知
.
(Ⅰ)若
,求实数的值;
(Ⅱ)若
,求面积的最大值.
18．（本小题满分12分）
在一个盒子中，放有标号分别为，，的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽
得两张卡片的标号分别为、
，设
为坐标原点，点
的坐标为
，记
．
(Ⅰ)求随机变量
的最大值，并求事件“取得最大值”的概率；
(Ⅱ)求随机变量的分布列和数学期望．
19．（本小题满分12分）
已知函数
且
,求函数
的极大值与极小值.
20．（本小题满分12分）
在四棱锥
中，
平面
，底面为矩形，
.
(Ⅰ)当
时，求证：
；
(Ⅱ)若
边上有且只有一个点
，使得
，
求此时二面角
的余弦值.
21．（本小题满分12分）
已知
均在椭圆
上，直线、
分别过椭圆的左右焦点
、
，当
时，有
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设是椭圆上的任一点，
为圆
的任一条直径，求
的最大值.
22．（本小题满分14分）
已知等比数列的前项和为
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设数列
满足
，
为数列 的前项和，试比较
与 
的大小，并证明你的结论．
青岛市2009年高三教学统一质量检测
数学（理）答案及评分标准 2009.3
二、填空题：
13．
； 14.
；15. 
；16. 
；
17. 解:(Ⅰ) 由两边平方得:
即
解得: 
…………………………3分
而可以变形为
即
，所以
…………………………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 ,则
…………………………7分
又
…………………………8分
所以
即
…………………………10分
故
………………………………12分
18．解:(Ⅰ)
、可能的取值为、、，
，
，
，且当
或
时，
． 因此，随机变量的最大值为…………………………4分
有放回抽两张卡片的所有情况有
种，
…………………6分
(Ⅱ)的所有取值为
．
时，只有
这一种情况．
时，有
或
或
或
四种情况，
时，有
或
两种情况．
，
，
…………………………8分
则随机变量的分布列为：
………………10分
因此，数学期望
…………………………12分
19．解：由题设知
令
……………………………2分
当
时，随的变化，
与
的变化如下：
0
+
0
-
0
+
极大
极小
，
………6分
当
时，随的变化，与的变化如下：
-
0
+
0
-
极小
极大
，…………11分
总之，当时，，；
当时，，……12分
20. 解：(Ⅰ)当时，底面
为正方形，
又因为
,
面
…………………………2分
又
面
…………………………3分
(Ⅱ) 因为
两两垂直，分别以它们所在直线
为轴、轴、
轴建立坐标系，如图所示，令
，可得
则
…………………4分
设
，则
要使，只要
即
………6分
由
，此时。
所以边上有且只有一个点，使得时，
为
的中点，且
…………………………8分
设面
的法向量
则
即
解得
…………………………10分
取平面
的法向量
则
的大小与二面角的大小相等
所以
因此二面角的余弦值为
…………………………12分
21. 解:(Ⅰ)因为，所以有
所以
为直角三角形；
…………………………2分
则有
所以，
…………………………3分
又
，
………………………4分
在中有
即
，解得
所求椭圆方程为
…………………………6分
(Ⅱ)
从而将求的最大值转化为求
的最大值…………………………8分
是椭圆上的任一点，设
，则有
即
又
，所以
………………………10分
而
,所以当
时，取最大值
故的最大值为
…………………………12分
22．解：（Ⅰ）由得:
时，
………………………2分
是等比数列，
，得 
……4分
（Ⅱ）由和
得
……………………6分
……10分
………………………11分
当
或
时有
，所以当
时有
那么同理可得：当
时有
，所以当
时有
………………………13分
综上：当时有；当时有………………………14分