昌平区2008―2009学年第二学期初三年级第一次统一练习
数 学 试 卷 2009．5
考生须知
1．本试卷共5页，共九道大题，25个小题，满分120分。考试时间120分钟。
2．在试卷和答题卡上认真填写学校名称、姓名和考试编号。
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
4．考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分）
1．
的相反数是
A．
B．
C． D．
2．今年两会期间，新华网、人民网、央视网等各大网站都推出了“向总理提问”的网上互动话题，上百万网民给总理提出了内容广泛的问题．在新华网推出的“总理，请听我说”栏目中，网民所提出的问题就达200 000多条. 将200 000用科学记数法表示应为
A．
B．
C．
D．
3．如图，在Rt
中, 
，
是
上一点，直线
∥
交
于点
，若
，则
的度数为
A．
B．
C．
D．
4．把代数式
分解因式，下列结果中正确的是
A．
B．
C．
D．
5．在下列所表示的不等式的解集中，不包括
的是
A．
B．
C．
D．
6．某校初三学生为备战5月份中考体育测试，分小组进行训练. 其中一个小组7名同学的一次训练的成绩（单位：分）为：18，27，30，27，24，28，25. 这组数据的众数和中位数分别是
A．27，30 B．27，
7．把点
、
、
、
分别写在四张卡片上，随机抽取一张，该点在函数
的图象上的概率是
A． B．
C．
D．
8．将左图中的正方体纸盒沿所示的粗线剪开，其平面展开图的示意图为
二、填空题（共4道小题，每小题4分，共16分）
9．在函数
中，自变量
的取值范围是 ．
10．若
，则
的值为 ．
11．如图所示，把一个直角三角尺ACB绕着30°角的顶点B顺时针旋转，使得点A落在CB的延长线上的点E处，则∠BDC的度数为 ．
12．一组按规律排列的式子：
（
）， 其中第6个式子是 ，第
个式子是 （为正整数）．
三、解答题（共5道小题，每小题5分，共25分）
13．计算：
．
14．已知
，求代数式
的值 ．
15．解分式方程：
．
16．已知：如图，在矩形
中，点、
在
上，
，连接
、
．
求证：
．
17．已知方程组
的解为
又知点
在双曲线
上，求该双曲线的解析式．
四、解答题（共2道小题，每小题5分，共10分）
18．如图，在梯形中，
，
，
，是
的中点，
，求的长．
19．如图，点
在
上，
，
的延长线交直线于点，过点
作
于
，
，连接.
（1）求证：是的切线；
（2）若
，求阴影部分的面积.
五、解答题（本题满分6分）
20．某校欲从甲、乙、丙三名候选人中挑选一名作为学生会主席，根据设定的录用程序，首先，随机抽取校内200名学生对三名候选人进行投票选举，要求每名学生最多推荐一人. 投票结果统计如下：
200名学生投票结果统计图
三名候选人得票情况统计图
其次，对三名候选人进行了笔试和面试两项测试，成绩如下表所示：
测试项目
测试成绩（分）
甲
乙
丙
笔试
75
80
90
面试
93
70
68
请你根据以上信息解答下列问题：
（1）补全图1和图2；
（2）若每名候选人得一票记1分，根据投票、笔试、面试三项得分按
的比例确定个人综合成绩，综合成绩高的被录用，请你分析谁将被录用.
六、解答题（共2道小题，21题5分，22题4分，共9分）
21．列方程或方程组解应用题：
为保证学生有足够的睡眠，政协委员于今年两会向大会提出一个议案，即“推迟中小学生早晨上课时间”，这个议案当即得到不少人大代表的支持. 根据北京市教委的要求，学生小强所在学校将学生到校时间推迟半小时. 小强原来7点从家出发乘坐公共汽车，7点20分到校；现在小强若由父母开车送其上学，7点45分出发，7点50分就到学校了. 已知小强乘自家车比乘公交车平均每小时快36千米，求从小强家到学校的路程是多少千米？
问题：如图1，点
在直线
的同侧，在直线上找一点
，使得
的值最小.
小明的思路是：如图2，作点
关于直线的对称点
，连接
，则与直线的交点即为所求.
请你参考小明同学的思路，探究并解决下列问题：
（1）如图3，在图2的基础上，设
与直线的交点为，过点作
，垂足为. 若
，
，
，写出的值；
（2）将（1）中的条件“”去掉，换成“
”，其它条件不变，写出此时的值；
（3）请结合图形，直接写出
的最小值.
七、解答题（本题满分7分）
23．已知：关于的一元二次方程
．
（1）若原方程有实数根，求
的取值范围；
（2）设原方程的两个实数根分别为
，
．
①当取哪些整数时，，均为整数；
②利用图象，估算关于的方程
的解．
八、解答题（本题满分7分）
24．在平面直角坐标系
中，抛物线
与轴交于
两点（点在点的左侧），过点的直线
交抛物线于点
．
（1）求直线及抛物线的解析式；
（2）若直线与抛物线的对称轴交于
点，以点为中心将直线顺时针
旋转
得到直线，设直线与
轴的交点
为，求
的面积；
（3）若
为抛物线上一点，是否存在轴上的
点，使以
为顶点的四边形为平行四边形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
九、解答题（本题满分8分）
25.已知
，
是
的平分线．将一个直角
的直角顶点在射线上移动，点不与点
重合.
（1）如图，当直角的两边分别与射线
、交于点、时，请判断
与
的数量关系，并证明你的结论；
（2）如图，在（1）的条件下，设与
的交点为点，且
，求
的值；
（3）若直角的一边与射线交于点，另一边与直线、直线分别交于点、，且以、、为顶点的三角形与
相似，请画出示意图；当
时，直接写出的长.
昌平区2008―2009学年第二学期初三年级第一次统一练习
数学试卷答案及评分参考
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
D
B
A
C
C
B
C
题号
9
10
11
12
答案
二、填空题（共4道小题，每小题4分，共16分）
15°
, 
三、解答题（共5道小题，每小题5分，共25分）
13．解：
?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分
．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分
14．解：
=
????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分
=
．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分
当时，
．????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分
原式
．????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分
15．解：分母因式分解，得
????????????????????????????????????????????????????? 1分
方程两边同乘
，得
???????????????????????????????????????? 3分
解得 
．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分
经检验，是原分式方程的解．???????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分
16．证明：∵四边形是矩形，
，
．………………………………………2分
在
和
中，
．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分
．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分
17．解：解方程组得
…………………………………………2分
点A的坐标为
．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分
∵点
在双曲线
上，
解得
．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分
该双曲线的解析式为
．????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分
四、解答题（共2道小题，每小题5分，共10分）
18．解：如图，分别过点
作
于点，
于点
．
，
．
又，，
.
四边形
是矩形．
∵,
．
，
．????????????????????? 1分
在
中，
，
．???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分
又∵是的中点，
．???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分
．
．
．????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分
在
中，
．????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分
19．（1）证明：如图，连结．
, 点在⊙上，
．
,
．
∥
．…………………1分
又
,
．
∵点在上，
是的切线．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分
（2）解：∵
，
，
是等边三角形．
∵，
．
在
中，
，
，
．
．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分
，???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分
．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分
五、解答题（本题满分6分）
20．解：（1）图1中，丙得票所占的百分比为
．????????????????????????????????????????????????????? 1分
补全图2见下图．???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分
三名候选人得票情况统计图
（2）∵
，
，
．?????????????????????????????????????????????????????????? 5分
∴丙被录用．???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分
六、解答题（共2道小题，21题5分，22题4分，共9分）
21．解：设小强乘公交车的平均速度是每小时千米，则小强乘自家车的平均速度是每小时
千米． 1分
依题意，得
．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分
解得
．???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分
．???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分
答：从小强家到学校的路程是4千米．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分
22．解：（1）的值为
．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分
（2）的值为5．????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分
（3）的最小值为
．???????????????????????????????????????????? 4分
七、解答题（本题满分7分）
23．解：（1）∵一元二次方程有实数根，
??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 1分
∴当
时，一元二次方程有实数根．???????????????????????????????????????? 2分
（2）①由求根公式，得
．
，
．…………………3分
要使，均为整数，
必为整数，
所以，当取
时，，均为整数．
……………………………………5分
②将
，代入方程
中，得
．
设
，
，并在同一平面直角坐标系中分别画出与的图象（如图所示）． 6分
由图象可得，关于的方程的解为
，
．………………7分
八、解答题（本题满分7分）
24．解：（1）∵点
在直线上，
．
解得
．
直线的解析式为
．???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 1分
∵点在轴上，
．
抛物线过点
，
解得
抛物线的解析式为
．??????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分
（2）由
，
可得抛物线的对称轴为
．
．…………………3分
根据题意，知点旋转到点处，直线过点
．
设直线的解析式为
．
将的坐标代入中，联立可得
．
∴直线的解析式为
．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分
．
过点作
轴于点.
．??????????????????? 5分
（3）存在，点的坐标分别为
、
、
、
． 7分
九、解答题（本题满分8分）
25．解：（1）与的数量关系是相等 ．???????????????????????????????????????????????????????????? 1分
证明：过点作
，
，垂足分别为点
．
∵，易得
．
，
而
，
．
∵是的平分线，
，
又
，
．
．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分
（2）
，
，
，
，
．
又
，
∽
．????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分
．
∵，
．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分
（3）如图1所示，若
与射线相交，则
；???????????????????????????????????????????????? 6分
如图2所示，若与直线的交点与点在点的两侧，则
．
????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分
