Question

如图甲所示，带正电的粒子以水平速度v₀从平行金属板MN间中线OO^′连续射入电场中，MN板间接有如图乙所示的随时间t变化的电压U_MN，电压变化周期T=0.1s，两板间电场可看做均匀的，且两板外无电场．紧邻金属板右侧有垂直纸面向里的匀强磁场B，分界线为CD，AB为荧光屏．金属板间距为d，长度为l，磁场B的宽度为d．已知：B=5×10^-3T，l=d=0.2mv₀=10⁵m/s，带正电的粒子的比荷为

q

m

=10⁸C/kg，重力忽略不计．试求：

（1）带电粒子进入磁场做圆周运动的最小半径；
（2）带电粒子射出电场时的最大速度；
（3）带电粒子打在荧光屏AB上的范围．

Answer 1

分析：（1）t=0时刻射入电场的带电粒子不被加速，进入磁场做圆周运动的半径最小，洛伦兹力提供向心力求出带电粒子在磁场中运动的轨道半径；
（2）将带电粒子的运动沿着水平方向和竖直方向正交分解，水平方向为匀速运动，竖直方向为初速度为零的匀加速运动，根据运动学公式列式求解；
带电粒子从平行板边缘射出时，电场力做功最多，获得的动能最大，根据动能定理列式求解；
（3）经过电场偏转后，粒子速度向上偏转或向下偏转，画出可能的轨迹图，根据洛伦兹力提供向心力得到轨道半径，通过几何关系求解．

解答：解：（1）t=0时刻射入电场的带电粒子不被加速，进入磁场做圆周运动的半径最小，
粒子在磁场中运动时有qv₀B=m

v02

r

r_min=

mv0

qB

=

105

5×10-3×108

=0.2m
（2）因带电粒子通过电场时间t=

l

v0

=2×10-6s＜T
所以带电粒子通过电场过程中可认为电场恒定不变．
设两板间电压为U₁时，带电粒子能从N板右边缘飞出，

d

2

=

1

2

×

U1q

dm

(

l

v0

)2
U1=

md2v02

ql2

=100V
在电压低于或等于100V时，带电粒子才能从两板间射出电场，故U₁=100V时，
带电粒子射出电场速度最大，q

U1

2

=

1

2

mvm2-

1

2

mv02
解得：vm=

v02+ qU1 m

=1.41×105m/s

（3）t=0时刻进入电场中粒子，进入磁场中圆轨迹半径最小，打在荧光屏上最高点E，
O′E=r_min=0.2m
从N板右边缘射出粒子，进入磁场中圆轨迹半径最大，
qvmB=m

vm2

rm

解得：rm=

mvm

qB

=

2

5

m
因vm=

2

v0，故tanθ=

vy

v0

=1，θ=45°，

O₂P=2×

2

d

2

=

2

d=0.2

2

m=r_max
所以从P点射出粒子轨迹圆心O₂正好在
荧光屏上且O₂与M板在同一水平线上，0′O₂=

d

2

=0.1m，
O′F=rm-O2O′=

2

5

-0.1=0.18m
带电粒子打在荧光屏AB上范围为：
EF=O′E+O′F=0.38m
答：（1）带电粒子进入磁场做圆周运动的最小半径为0.2m；
（2）带电粒子射出电场时的最大速度为1.41×10⁵m/s；
（3）带电粒子打在荧光屏AB上的范围为0.38m．

点评：本题关键是画出粒子进入磁场后的各种可能的运动轨迹，根据洛伦兹力提供向心力列式后得出半径，然后求出磁偏转的距离表达式，并得出回旋角度的范围，从而得到磁偏转的范围．