Question

如图所示，滑块A的质量m=0.01kg，与水平地面间的动摩擦因数μ=0.2，用细线悬挂的若干小球质量均为m=0.01kg，沿x轴排列，A与第1个小球及相邻两小球间距离均为s=2m，线长分别为L₁，L₂，L₃…（图中只画出三个小球，小球均可视为质点），开始时，滑块以速度v₀=10m/s沿x轴正方向运动，设滑块与小球碰撞时不损失机械能，碰撞后小球均恰能在竖直平面内做圆周运动并再次与滑块正碰（g取10m/s²），求：
（1）第1个小球碰撞后瞬间的速度；
（2）滑块能与几个小球碰撞？
（3）求出碰撞中第n个小球悬线长L_n的表达式．

Answer 1

分析：（1）因为小球恰能做圆周运动，求出最高点的临界速度，通过机械能守恒定律求出最低点的速度，根据牛顿第二定律求出悬线对小球的拉力大小．
（2）通过动能定理求出滑块能够向前滑动的距离，结合两球间的距离确定碰撞球的个数．
（3）根据牛顿第二定律求出最高点的临界速度，通过机械能守恒定律求出最低点的速度，结合动能定理求出碰撞中第n个小球悬线长L_n的表达式．

解答：解：（1）设滑块与第1只小球碰前的速度为v₁，由于滑块与小球碰撞后速度交换，即碰撞后小球速度为v₁，滑块静止．
对滑块，根据牛顿定律有：ma=-μmg
a=

-μmg

m

=-μg=-0.2×10=-2m/s2
滑块与第1个小球碰撞前瞬间的速度v₁：

v

2 1

-

v

2 0

=2as
联立以三各式，代入数据解得：v1=2

23

m/s
 由于滑块与小球碰撞后速度交换，即碰撞后小球速度为v₁，滑块静止．
 （2）滑块与第1只小球碰撞后互换速度，滑块静止，小球在竖直平面内做圆周运动，当小球回到最低点时，再次与滑块碰撞，小球又静止，滑块向前运动，接着与第2只、第3只等小球发生类似作用．设滑块能与n只小球发生碰撞，与第1、2、3…n只小球碰撞前速度分别为v₁、v₂、v₃…v_n，与第n只小球碰撞后滑行的距离△s后静止，滑行总距离为s₀，根据动能定理有：-μmgs0=0-

1

2

m

v

2 0

，
代入数据解得：s₀=25m
n=

25

2

=12.5
所以滑块能够与小球碰撞12次．
（2）设滑块与第n个小球碰撞后，小球速度为v_n，运动到最高点时速度为v_n′，由于小球恰能在竖直平面内完成完整的圆周运动，
所以，据牛顿定律有：mg=

mvn′2

Ln

小球做圆周运动时机械能守恒，根据机械能守恒定律有：

1

2

m

v

2 n

=

1

2

mvn′2+2mgLn
对滑块，根据动能定理，有：-μmg?ns=

1

2

m

v

2 n

-

1

2

m

v

2 0

联立以上三式，代入数据解得：L_n=（2-0.16n）m
答：（1）第1个小球碰撞后瞬间的速度为v1=2

23

m/s．
（2）滑块能与12个小球碰撞．
（3）碰撞中第n个小球悬线长L_n的表达式L_n=（2-0.16n）m．

点评：本题综合考查了牛顿第二定律、动能定律、机械能守恒定律等规律，综合性较强，对学生的能力要求较高，需加强这方面的训练．