Question

如图所示，在竖直平面内，AB是半径为R的四分之一光滑绝缘圆弧，带电量为+q，质量为m的小球从圆弧上A点由静止开始下滑，通过粗糙绝缘水平面BC向右运动到达C孔，进入半径为r的光滑绝缘圆轨道，小球进入圆轨道后，C孔立即关闭，轨道BCDE处于电场强度为E的竖直向下匀强电场中．已知：R=10r，E_q=mg，μ=

1

6

，

.

BC

=L=6r，g=10m/s²．要求：
（1）小球到达B点时的速度大小；
（2）小球运动到F点时，轨道对小球的压力大小；
（3）若小球在AB圆弧内从距水平面高为h的某点P由静止释放，从C点进入圆轨道后不脱离轨道，试求h的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据机械能守恒定律求出小球到达B点时的速度大小．
（2）对A到F的过程运用动能定理，求出小球到达F点的速度，根据牛顿第二定律求出压力的大小．
（3）要使小球进入圆轨道后不脱离轨道，关于h的取值，有两种情形：一种是小球刚好运动到D点速度为零，另一种情形是刚好通过F点，结合动能定理和牛顿第二定律求出h的范围．

解答：解：（1）小球从A到B，由机械能守恒得：mgR=

1

2

mvB2-0．
得：vB=

2gR

=2

5gr

．
（2）小球从A到F，由动能定理得：
mgR-mg?2r-qE?2r-μ(mg+qE)L=

1

2

mvF2-0．
解得：vF2=8gr．
在F处，对小球：NF+mg+qE=m

vF2

r

．
解得：N_F=6mg．
（3）要使小球进入圆轨道后不脱离轨道，关于h的取值，有两种情形：
①小球刚好能运动到D点，即：v_D=0．
小球从P到D，由动能定理得：
mgh-mgr-qEr-μ（mg+qE）L=

1

2

mvD2-0
得：h=4r．
小球刚好能运动到C点，即：v_C=0．
小球从P到C，由动能定理得：
mgh-μ(mg+qE)L=

1

2

mvC2
得：h=2r．
在2r≤h≤4r范围内，小球不脱离圆轨道．
②小球刚好能运动到F点，在F点：N_F=0
即：mg+qE=m

vF2

r

   
得：vF2=2gr．
小球从P到F，由动能定理得：
mgh-mg?2r-qE?2r-μ（mg+qE）L=

1

2

mvF2-0
得：h=7r
所以：在7r≤h≤10r范围内，小球不脱离圆轨道．
答：（1）小球到达B点时的速度大小为2

5gr

．
（2）小球运动到F点时，轨道对小球的压力大小为6mg．
（3）h的取值范围为2r≤h≤4r或7r≤h≤10r．

点评：本题考查了动能定理、机械能守恒定律和牛顿第二定律的综合，知道小球不脱离轨道的临界情况，结合牛顿第二定律和动能定理进行求解．