Question

如图所示，半径为R的光滑半圆轨道ABC固定在竖直平面内，它的底端与光滑水平轨道相切于A点．质量为m的小球以某一初速度在水平轨道上向半圆轨道滑行，到达最高点C离开半圆轨道后，落在水平轨道的P点，PA=4R．求：
（1）小球在C点对半圆轨道的压力．
（2）小球通过C点前、后瞬间的加速度之比．
（3）小球在水平轨道上的初速度v₀．

Answer 1

分析：（1）小球离开C点后作平抛运动，根据平抛运动的特点求出C点的速度，在C点，根据牛顿运动定律即可解得对轨道的压力；
（2）小球通过C点前瞬间的加速度可以根据牛顿第二定律求得，小球通过C点后瞬间的加速度为g，进而求出比值；
（3）从A点到C点，根据机械能守恒定律即可求得初速度．

解答：解：（1）设小球在C点的速度为v，对半圆轨道的压力为F，
小球离开C点后作平抛运动：
2R=

1

2

gt2，
4R=vt，
解得v=2

gR

在C点，根据牛顿运动定律：F+mg=m

v2

R

解得F=3mg
（2）小球通过C点前瞬间的加速度为a1=

v2

R

=4g
小球通过C点后瞬间的加速度为a₂=g
则a₁：a₂=4：1
（3）从A点到C点，根据机械能守恒定律：

1

2

m

v

2 0

=mg?2R+

1

2

mv2
解得v0=2

2gR

答：（1）小球在C点对半圆轨道的压力为3mg．
（2）小球通过C点前、后瞬间的加速度之比为4：1．
（3）小球在水平轨道上的初速度v₀为2

2gR

．

点评：本题关键是明确小球的运动情况，然后分过程运用机械能守恒定律、平抛运动的分位移公式和向心力公式列式求解．