Question

如图所示，竖直面内有一粗糙斜面AB，BCD部分是一个光滑的圆弧面，C为圆弧的最低点，AB正好是圆弧在B点的切线，圈心点O与A、D点在同一高度，∠OAB=37°，圆弧面的半径R=3.6m，一小滑块质量m=5kg，与A斜面间的动摩擦因数μ=0.45，将滑块由A点静止释放，求在以后的运动中（sin37°=0.6，cos37°=0.8）
（1）滑块在AB段上运动的总路程；
（2）在滑块运动过程中，C点受到的压力的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）由几何知识得知，斜面的倾角等于30°．物体从A点无初速度滑下后，由于克服摩擦力做功，物体在斜面上运动时机械能不断减小，到达的最大高度越来越小，最终在BE圆弧上来回运动，到达B点的速度为零．物体在斜面上运动时摩擦力大小为μmgcosθ，总是做负功，滑动摩擦力做的总功与总路程成正比，根据动能定理求解总路程．
（2）当物体第一次经过C点时，速度最大，对C点的压力最大，当最后稳定后，物体在BE之间运动时，经过C点时速度最小，物体对C点的压力最小，根据动能定理求出最大速度和最小速度，再由牛顿运动定律求解最大压力和最小压力．

解答：解：（1）由于滑块在AB段受摩擦力作用，则滑块往复振荡的高度将越来越低，最终以B为最高点在光滑的圆弧段往复运动，设滑块在AB上运动的总路程为s．
滑块在AB段上受摩擦力，f=μF_N=μmgcosθ
从A点出发到最终以B点为最高点振荡，根据能量守恒有：△E_p=fs
即：mgRcosθ=fs
解得s=

mgRcosθ

f

=8m   
（2）滑块第一次过C点时，速度最大，设为v₁，分析受力知此时小球受轨道支持力最在，设在F_max，从A到C，根据动能定理有：mgR-flAB=

1

2

m

v

2 1

根据受力以及向心力公式知：Fmax-mg=

m v 2 1

R

联立两式并代入数据得：F_max=102N   
当滑块以B为最高点往复运动的过程中过C点时速度最小，设为v₂．
此时小球受轨道支持力也最小，设为F_min
从B到C，根据动能定理有：mgR(1-cosθ)=

1

2

m

v

2 2

根据受力及向心力公式有：Fmin-mg=

m v 2 2

R

联立两式并代入数据得：F_min=70N　　　
根据牛顿第三定律可知C点受到的压力最大值为102N，最小值为70N
答：（1）滑块在AB段上运动的总路程为8m；
（2）在滑块运动过程中，C点受到的压力的最大值为102N，最小值70N．

点评：本题是动能定理与牛顿运动定律的综合应用，关键是分析物体的运动过程，抓住滑动摩擦力做功与路程有关这一特点．