Question

相距L=0.8m的足够长金属导轨的左侧为水平轨道，右侧为倾角37°的倾斜轨道，金属棒ab和金属棒cd分别水平地放在两侧的轨道上，如图（a）所示，两金属棒的质量均为1.0kg．水平轨道位于竖直向下的匀强磁场中，倾斜轨道位于沿斜面向下的匀强磁场中，两个磁场的磁感应强度大小相等．ab、cd棒与轨道间的动摩擦因数为μ=0.5，两棒的总电阻为R=1.5Ω，导轨电阻不计．ab棒在水平向左、大小按图（b）所示规律变化的外力F作用下，由静止开始沿水平轨道做匀加速运动，同时cd棒也由静止释放．（sin37°=0.6，cos37°=0.8，重力加速度g取10m/s²）

（1）求两个磁场的磁感应强度B的大小和ab棒的加速度a₁的大小；
（2）已知在2s内外力F做功为18J，求这一过程中两金属棒产生的总焦耳热；
（3）写出cd棒运动的加速度a₂（m/s²）随时间t（s）变化的函数式a₂（t），并求出cd棒达到最大速度所需的时间t；
（4）请在图（c）中画出cd棒受到的摩擦力f_cd随时间变化的图象．

Answer 1

【答案】分析：（1）ab棒做加速运动，根据牛顿第二定律列式，得到外力F与加速度的表达式，结合图象的信息，求出B和加速度；
（2）ab棒做匀加速运动，由运动学v=at求出2s末的速度，由公式s=at²求出2s内的位移，运用能量守恒定律求解两金属棒产生的总焦耳热；
（3）根据牛顿第二定律得到cd棒的加速度表达式，即可分析何时加速度最大，并求出时间．
（4）分析cd棒的受力情况，由公式f=μN求出摩擦力的表达式，从而作出图象．
解答：解：（1）根据牛顿第二定律得：
ab棒：F-μmg-F_A=m₁a₁
其中安培力F_A=BIL=
对ab棒有：m₁a₁=F-μmg-F_A，
结合图象的信息，将t=0时，F=6N、F_A=0 代入，可求得a₁=1m/s²
a₁为定值，则=1.5，
将L=0.8m、R=1.5Ω、a₁=1m/s²代入上式，可求得B=1.875T
（2）2s末，ab棒的速度υ_t=a₁t=2m/s，位移s=a₁t²=2m
对ab棒，由能量守恒得
    W_F=mυ_t²+μm₁gs+Q，
可解得Q=6J
（3）对cd棒有m₂gsin37°-μ（m₂gcos37°+F_A）=m₂a₂，
其中F_A=BIL=
可得a₂=2-0.75t
a₂=0时cd棒的速度最大，此时t=2.67s
（4）cd棒受到的摩擦力f_cd=μ（m₂gcos37°+F_A）=4+0.75t
作出f_cd随时间变化的图象如图所示．
答：
（1）两个磁场的磁感应强度B的大小为1.875T，ab棒的加速度a₁的大小为1m/s²；
（2）这一过程中两金属棒产生的总焦耳热是6J；
（3）cd棒运动的加速度a₂（m/s²）随时间t（s）变化的函数式a₂（t）为a₂=2-0.75t，cd棒达到最大速度所需的时间t为t=2.67s．
（4）在图（c）中画出cd棒受到的摩擦力f_cd随时间变化的图象如图所示．
点评：本题是电磁感应与力学知识的结合，关键要能推导出安培力表达式，运用牛顿第二定律进行分析和计算．