题目内容

竖直平面内的轨道ABC由水平滑道AB与光滑的四分之一圆弧道BC平滑连接组成，轨道放在光滑的水平面上．一个质量为m=1kg的小物块（可视为质点）从轨道的A端以初速度v0=8m/s冲上水平滑道AB，沿着轨道运动，由CB弧滑下后停在水平滑道AB的中点．已知轨道ABC的质量为M=3kg．求：
（1）小物块和滑道相对静止时共同的速度；
（2）若小物块恰好不从C端离开滑道，圆弧滑道的半径R应是多大？
（3）若增大小物块的初速度，使得小物块冲出轨道后距离水平滑道AB的最大高度是2R，小物块的初速度v0应多大．
分析：（1）物块冲上滑道AB后的运动过程中，系统水平方向不受外力，动量守恒，物块最终与滑道的速度相同，由动量守恒定律求最终速度；
（2）若小物块刚好到达D处，此时它与轨道有共同的速度，此速度与上题最终速度相等，根据整个过程功能关系列式求解．
（3）根据动量守恒和能量定恒列出等式求解．
解答：解：（1）小物块冲上轨道的初速度设为v0，最终停在AB的中点，跟轨道有相同的速度，设为V1．在这个过程中由系统动量定恒有
mv0=（M+m）v1①
可得v1=2m/s②
（2）小物块冲上轨道到最终停在AB的中点，设物块与轨道间滑动摩擦力为f，由能量定恒
3
2
fL=
1
2
m
v
2
0
-
1
2
（M+m）
v
2
1
③
若小物块恰好到达C端，此时它与轨道有共同的速度V1，在此过程中系统总的动能减少转化为内能和物块的势能
fL+mgR=
1
2
m
v
2
0
-
1
2
（M+m）
v
2
1
④
由③、④解得，要使物块恰好不从C点离开滑道，圆弧半径应为
R=0.8m⑤
（3）设物块以初速度v′0上轨道，可以在到的最大高度为2R，物块从C点离开轨道，其水平方向的速度总与轨道速度相等，达到最高点时，
物块水平跟轨道的速度相等（设为V2）
mv′0=（m+M）v2 ⑥
1
2
m
v′
2
0
=
1
2
（m+M）
v
2
2
+mg?2R+fL⑦
由⑥、⑦可得
v′
2
0
=9.25m/s
答：（1）小物块和滑道相对静止时共同的速度是2m/s；
（2）若小物块恰好不从C端离开滑道，圆弧滑道的半径R应是0.8m
（3）若增大小物块的初速度，使得小物块冲出轨道后距离水平滑道AB的最大高度是2R，小物块的初速度v0应是9.25m/s
点评：能根据动量守恒条件判断系统动量守恒并能列式求解，能根据机械能守恒条件判断系统机械能守恒并列式求解是解决本题两问的关键．
练习册系列答案
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（2012?黄埔区模拟）如图所示，一个固定在竖直平面内的轨道，有倾角为θ=37°的斜面AB和水平面BC以及另一个倾角仍为θ=37°的斜面DE三部分组成．已知水平面BC长为0.4m，D位置在C点的正下方，CD高为H=0.9m，E点与C点等高，P为斜面DE的中点；小球与接触面间的动摩擦因数均为μ=0.15，重力加速度g取10m/s2．现将此小球离BC水平面400h高处的斜面上静止释放，小球刚好能落到P点（sin37°=0.6，cos37°=0.8）．
（1）求h的大小；
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如图所示，竖直平面内的轨道ABCD由水平轨道AB与光滑的四分之一圆弧轨道CD组成，AB恰与圆弧CD在C点相切，轨道固定在水平面上．一个质量为m的小物块（可视为质点）从轨道的A端以初动能E冲上水平轨道AB，沿着轨道运动，由DC弧滑下后停在水平轨道AB的中点．已知水平轨道AB长为L．求：
（1）小物块与水平轨道的动摩擦因数μ
（2）为了保证小物块不从轨道的D端离开轨道，圆弧轨道的半径R至少是多大？
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（2011?绍兴二模）如图所示，一个固定在竖直平面内的轨道，有倾角为θ=30°的斜面AB、光滑的水平面BO及圆心在O点、半径R=
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2
10
m的1/4圆弧轨道OCD三部分组成，已知C点在O点在正下方，O、D在同一水平线上，P为圆弧CD的中点；小球与斜面间的动摩擦因数为μ=
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．现将此小球离BO水平面h高处的斜面上静止释放，小球刚好能落到P点．（取g=10m/s2）
（1）求h的大小；
（2）若改变小球在斜面上静止释放的位置问小球能否垂直打到CD圆弧上？若能，请求出h的大小；若不能，请说明理由？

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