Question

6．如图所示，一平行板电容器的两极板竖直放置，在两极板间有一带电小球，小球用一绝缘轻线悬挂于O点．先给电容器缓慢充电，使两级板所带电荷量分别为﹢Q和-Q，此时悬线与竖直方向的夹角为$\frac{π}{6}$．再给电容器缓慢充电，直到悬线和竖直方向的夹角增加到$\frac{π}{3}$，且小球与两极板不接触．求：
（1）推导出板间的电场强度E与电容C和板间距d及Q的关系式．
（2）第二次充电使电容器正极板增加的电荷量．

Answer 1

分析 （1）根据电容的定义式C=$\frac{Q}{U}$、场强与电势差的关系式E=$\frac{U}{d}$结合解答．
（2）对小球受力分析，受重力、电场力和拉力，根据U=Ed、Q=cU、F=qE以及平衡条件分两次列方程后求解出电容器极板电量Q的表达式进行求解．

解答 解：（1）由电容为C，则第一次充电Q后，由$C=\frac{Q}{U}$，得电容器两极板间电势差为 $U=\frac{Q}{C}$
两板间为匀强电场，场强为 $E=\frac{U}{d}$
整理得   $E=\frac{Q}{Cd}$
（2）设电场中小球带电量为q，则所受电场力 F₁=E₁q
小球在电容器中受重力，电场力和拉力平衡，如图，由平衡条件有：
第一次充电后     qE₁=mgtanθ₁
第二次充电后     qE₂=mgtanθ₂
综合以上各式得：$\frac{{E}_{2}}{{E}_{1}}$=$\frac{Q+△Q}{Q}$=$\frac{tan60°}{tan30°}$=3
解得：△Q=2Q
答：（1）板间的电场强度E与电容C和板间距d及Q的关系式为$E=\frac{Q}{Cd}$．
（2）第二次充电使电容器正极板增加的电荷量是2Q．

点评 本题考查平行板电容器的电场中电场力、电场强度和电势差的关系等，关键结合平衡条件列式求解．