Question

质量均为m=0.1kg的两个小物体A和B，静止放在足够长的水平面上，相距L=12.5m．它们跟水平面间的动摩擦因数均为μ=0.2，其中A带电荷量为q=3×10^-4C的正电荷，与水平面的接触是绝缘的，B不带电．现在水平面附近空间加一水平向右的匀强电场，场强E=10³ N/C，A便开始向右运动，并与B发生多次对心碰撞，碰撞过程时间极短，碰撞过程中无机械能损失，A带电量不变，B始终不带电，重力加速度g取10m/s²．

求：
（1）A与B第1次碰撞后B的速度大小；
（2）A与B从第2次碰撞到第3次碰撞过程中B运动的位移；
（3）整个运动过程中A、B同水平面摩擦产生热量的总和．

Answer 1

分析：（1）由牛顿第二定律结合运动学公式，可求出A与B第1次碰撞后B的速度大小；
（2）由牛顿第二定律可求出物体B的加速度，加之每次碰撞后两物体交换速度，从而根据运动学公式可求出第2次碰撞到第3次碰撞过程中B运动的位移；
（3）根据第2问可列出每次碰撞时速度大小，结合位移与时间关系从而求出，碰撞N次的总位移，再由电场力做功，求得小物体A运动过程中A、B同水平面摩擦产生热量的总和．

解答：解：（1）对A，根据牛顿第二定律 Eq-μmg=ma_A，
解得加速度 a_A=1m/s²
根据公式

v

2 A1

=2a_AL，解得A与B碰前速度 v_A1=5m/s
碰撞交换速度，第1次碰后，A的速度为0，B的速度 v_B1=v_A1=5m/s．
（2）对B，根据牛顿第二定律 μmg=ma_B，解得加速度大小a_B=2m/s²，
每次碰后B作匀减速运动，因其加速度大于A的加速度，所以B先停，之后A追上再碰，每次碰后A的速度均为0，然后加速再与B发生下次碰撞．
第1次碰撞：x_B1为第1次碰后B的位移，则 

v

2 B1

=

v

2 A1

=2a_Bx_B1，
解得，碰后B运动的位移为x_B1=6.25m
第2次碰撞：碰撞前A的速度为v_A2，则

v

2 A2

=2a_Ax_B1，
由上两式得
 

v 2 A2

v 2 A1

=

aA

aB

=

1

2

得：

xA2

L

=

xB1

L

=

v 2 A2

v 2 A1

=

aA

aB

=

1

2

以此类推，第2次碰撞后B运动的位移
x_B2=（

aA

aB

）²L=3.125m．
（3）根据第（2）问的分析，经过n次碰撞后B的速度 v_Bn=

vA1

( 2 )n-1

从第1次碰撞到第n次碰撞后B通过的总路程
x=

v 2 B1

2aB

+

v 2 B2

2aB

+…+

v 2 Bn

2aB

=

v 2 A1

2aB

（1+

1

2

+…+

1

2n-1

）
所以 x=

2aAL

2aB

?=12.5（1-

1

2n

）m
当n→∞时，即得B通过的总路程 x=12.5m
故Q=μmg（L+x）+μmgx=5J+2.5J=7.5J．
答：
（1）A与B第1次碰撞后B的速度大小是5m/s；
（2）A与B从第2次碰撞到第3次碰撞过程中B运动的位移是3.125m；
（3）整个运动过程中A、B同水平面摩擦产生热量的总和是7.5J．

点评：本题主要考查了牛顿第二定律、运动学公式，并根据碰撞速度互换，从而得到运动间联系．同时注意运用数学归纳法总结规律，进行求解．