题目内容
如图，ABD为竖直平面内的光滑绝缘轨道，其中AB段是水平的，BD段是半径为R的半圆，两段轨道相切于B点．小球甲以速度υ0沿水平轨道向右运动，与静止在B点的小球乙发生弹性碰撞．已知甲、乙两球的质量均为m．（水平轨道足够长，甲、乙两球可视为质点）（1）甲乙两球碰撞后，乙恰能通过轨道的最高点D，求乙在轨道上的首次落点到B点的距离；
（2）在满足（1）的条件下．求甲的速度υ0；
（3）若甲仍以速度υ0向右运动，增大甲的质量，保持乙的质量不变，求乙在轨道上的落点到B点的距离范围．
分析：（1）乙球恰能通过最高点，根据牛顿第二定律求出到达D点的速度，结合平抛运动的规律求出乙在轨道上的首次落点到B点的距离．
（2）根据动能定理求出乙球在B点碰撞后的速度，结合动量守恒定律和机械能守恒定律求出甲与乙碰撞前的速度．
（3）根据动量守恒定律和机械能守恒定律求出碰后乙的速度，从而根据质量关系求出乙的速度范围，根据动能定理求出D点的速度，从而得出水平距离，结合B点乙球的速度范围求出落点到B点的距离范围．
（2）根据动能定理求出乙球在B点碰撞后的速度，结合动量守恒定律和机械能守恒定律求出甲与乙碰撞前的速度．
（3）根据动量守恒定律和机械能守恒定律求出碰后乙的速度，从而根据质量关系求出乙的速度范围，根据动能定理求出D点的速度，从而得出水平距离，结合B点乙球的速度范围求出落点到B点的距离范围．
解答：解：（1）设乙恰能通过轨道的最高点的速度为vD，乙离开D点到达水平轨道的时间为t，乙的落点到B点的距离为x，
则m
=mg①
2R=
gt2②
x=vDt③
联立①②③得：x=2R ④
（2）设碰撞后甲、乙的速度分别为v甲、v乙，根据动量守恒和机械能守恒定律有：
mv0=mv甲+mv乙⑤
mv02=
mv甲2+
mv乙2 ⑥
联立⑤⑥解得：v乙=v0 ⑦
乙从最低点到最高点的过程由动能定理得：
-mg×2R=
mvD2-
mv乙2 ⑧
联立①⑦⑧解得：v0=
⑨
（3）设甲的质量为m甲，碰撞后甲、乙的速度分别为v甲、v乙，根据动量守恒和机械能守恒定律有：
m甲v0=m甲v甲+mv乙．⑩
m甲v02=
m甲v甲2+
mv乙2 （11）
联立⑩（11）得，v乙=
（12）
由（12）和m甲、m乙，可得v0≤v乙≤2v0 （13）
设乙球过D点的速度为vD′，由动能定理得，
-mg×2R=
mvD′2-
mv乙2 （14）
联立⑨（13）（14）得，
≤vD′≤2
． （15）
设乙在水平轨道上的落点到B点的距离为x′，则有：
x′=vD′t （16）
联立②（15）（16）得，2R≤x′＜8R．
答：（1）乙在轨道上的首次落点到B点的距离为2R．（2）甲的速度v0=
．（3）乙在轨道上的落点到B点的距离范围为2R≤x′＜8R．
则m
| vD2 |
| R |
2R=
| 1 |
| 2 |
x=vDt③
联立①②③得：x=2R ④
（2）设碰撞后甲、乙的速度分别为v甲、v乙，根据动量守恒和机械能守恒定律有：
mv0=mv甲+mv乙⑤
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
联立⑤⑥解得：v乙=v0 ⑦
乙从最低点到最高点的过程由动能定理得：
-mg×2R=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
联立①⑦⑧解得：v0=
| 5gR |
（3）设甲的质量为m甲，碰撞后甲、乙的速度分别为v甲、v乙，根据动量守恒和机械能守恒定律有：
m甲v0=m甲v甲+mv乙．⑩
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
联立⑩（11）得，v乙=
| 2m甲v0 |
| m甲+m乙 |
由（12）和m甲、m乙，可得v0≤v乙≤2v0 （13）
设乙球过D点的速度为vD′，由动能定理得，
-mg×2R=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
联立⑨（13）（14）得，
| 5gR |
| 5gR |
设乙在水平轨道上的落点到B点的距离为x′，则有：
x′=vD′t （16）
联立②（15）（16）得，2R≤x′＜8R．
答：（1）乙在轨道上的首次落点到B点的距离为2R．（2）甲的速度v0=
| 5gR |
点评：解决本题的关键知道弹性碰撞中动量守恒、机械能守恒，理清运动过程，知道平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律，以及圆周运动向心力的来源，结合动能定理和牛顿第二定律进行求解．
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