Question

如图所示的“S”字形玩具轨道，该轨道是用内壁光滑的薄壁细圆管弯成，固定在竖直平面内，轨道弯曲部分是由两个半径相等半圆连接而成，圆半径比细管内径大得多，轨道底端与水平地面相切，弹射装置将一个小球（可视为质点）从a点水平弹射向b点并进入轨道，经过轨道后从P点水平抛出，已知小物体与地面ab段间的动摩擦因数μ=0.2，不计其它机械能损失，ab段长L=1.25m，圆的半径R=0.1m，小物体质量m=0.01kg，轨道总质量为M=0.15kg，g=10m/s²，求：
（1）若v₀=5m/s，小物体从P点抛出后的水平射程；
（2）若v₀=5m/s，小物体经过轨道的最高点时，管道对小物体作用力的大小和方向．
（3）设小球进入轨道之前，轨道对地面的压力大小等于轨道自身的重力，当v₀至少为多少时，轨道对地面的压力为零．

Answer 1

分析：（1）对a到p运用动能定理求出小球到达P点的速度，根据平抛运动的规律求出小物体抛出后的水平射程．
（2）根据牛顿第二定律求出管道对小物体的作用力大小和方向．
（3）当小球在“S”形道中间位置轨道对地面的压力为零，此时速度最小，根据动能定理，结合牛顿第二定律求出最小的速度．

解答：解：（1）设小物体运动到p点的速度大小为v，对小物体由a点运动到p点过程运用动能定理得，
-μmgL-mg?4R=

1

2

mv2-

1

2

mv02
小物体自p点做平抛运动，设运动时间为t，水平射程为s，则：
4R=

1

2

gt2 
s=vt
联立代入数据解得s=0.4

6

m．
（2）设在轨道的最高点时管道对小物体的作用力大小为F，取竖直向下为正方向，根据牛顿第二定律得，F+mg=m

v2

R

联立代入数据解得：
F=1.1N，方向竖直向下．
（3）分析可知，要使小球以最小速度v₀运动，且轨道对地面的压力为零，则小球的位移应该在“S”形道中间位置．
根据牛顿第二定律得，F′+mg=m

v12

R

   F′=Mg
根据动能定理得，-μmgL-2mgR=

1

2

mv12-

1

2

mv02
解得v₀=5m/s．
答：（1）小物体从P点抛出后的水平射程为0.4

6

m．
（2）管道对小物体作用力的大小为1.1N，方向竖直向下
（3）当v₀=5m/s，轨道对地面的压力为零．

点评：本题综合考查牛顿第二定律和动能定理的运用，难度中等，涉及到圆周运动，平抛运动，需加强这方面题型的训练．