【题目】将边长分别为的正方形叠放在一起,形成如图所示的图形,由小到大,依次记各阴影部分所在的图形为第1个、第2个、……、第个阴影部分图形.设前个阴影部分图形的面积的平均值为.记数列满足:.

(1)求的表达式及数列的通项公式；

(2)记若,其中为常数,且恒成立,求的取值范围.

【题目】已知数列满足： ， ， ．

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列的前项和为，且满足，试确定的值，使得数列为等差数列；

（3）将数列中的部分项按原来顺序构成新数列，且，求证：存在无数个满足条件的无穷等比数列．

【题目】已知是曲线上的点,是数列前项和,且满足

(1)若时,求的值；

(2)证明:数列是常数列；

(3)确定的取值集合M,使时,数列是单调递增数列.

【题目】已知等比数列满足：，．

（1）求数列的通项公式；

（2）是否存在正整数，使得？若存在，求的最小值；若不存在，说明理由．

【题目】设，函数．

（1）若无零点，求实数的取值范围．

（2）若，证明：．

【题目】已知椭圆的离心率为，抛物线的准线被椭圆截得的线段长为．

（1）求椭圆的方程；

（2）如图，点分别是椭圆的左顶点、左焦点直线与椭圆交于不同的两点（都在轴上方）．且．证明：直线过定点，并求出该定点的坐标．

【题目】如图1，在平行四边形中，，，点是的中点，点是的中点，分别沿．将和折起，使得平面平面（点在平面的同侧），连接，如图2所示．

（1）求证：；

（2）当，且平面平面时，求三棱锥的体积．

【题目】(1)用行列式判断关于的二元一次方程组解的情况；

(2)用行列试解关于的二元一次方程组并对解的情况进行讨论.

【题目】如图,一个粒子的起始位置为原点,在第一象限内于两正半轴上运动,第一秒运动到(0,1),而后它接着按图示在轴、轴的垂直方向来回运动,且每秒移动一个单位长度,如图所示,经过秒时移动的位置设为,那么经过2019秒时,这个粒子所处的位置的坐标是______.

【题目】定义：曲线称为椭圆的“倒椭圆”．已知椭圆，它的“倒椭圆”．

（1）写出“倒椭圆”的一条对称轴、一个对称中心；并写出其上动点横坐标x的取值范围．

（2）过“倒椭圆”上的点P，作直线PA垂直于x轴且垂足为点A，作直线PB垂直于y轴且垂足为点B，求证：直线AB与椭圆只有一个公共点．

（3）是否存在直线l与椭圆无公共点，且与“倒椭圆”无公共点？若存在，请给出满足条件的直线l，并说明理由；若不存在，请说明理由．