Question

已知函数f（x）=x²+bln（x+1），其中b≠0是常数．
（1）判断函数在定义域上的单调性；
（2）对?n∈N^*，不等式ln(1+

1

n

)＞

1

n

+

p

n2

恒成立，求常数p的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求导：f/(x)=2x+

b

x+1

=

1

x+1

[2(x+

1

2

)2+(b-

1

2

)]，由二次函数法研究导数大于或小于等于零，从而得到单调性．
（2）先构造函数g（x）=ln（x+1）-x-px²，求导得.g/(x)=-x(

1

x+1

+2p)，1≤x+1≤2，

1

2

≤

1

x+1

≤1研究单调性，若p≤-

1

2

，则g^/（x）≥0，函数是增函数；若p≥-

1

4

，则g^/（x）≤0，函数是减函数；若-

1

2

＜p＜-

1

4

，求得g（x）的极值点，最后转化为最值法解决．

解答：解：（1）f/(x)=2x+

b

x+1

=

1

x+1

[2(x+

1

2

)2+(b-

1

2

)]，
若b≥

1

2

，f（x）在定义域区间（-1，+∞）上单调增加；
若0＜b＜

1

2

，由f^/（x）=0解得x1=

-1- 1-2b

2

，x2=

-1+ 1-2b

2

，
f（x）在（-1，x₁）上单调增加，在（x₁，x₂）上单调减少，在（x₂，+∞）上单调增加．

（2）设g（x）=ln（x+1）-x-px²，其中0≤x≤1.g/(x)=-x(

1

x+1

+2p)，1≤x+1≤2，

1

2

≤

1

x+1

≤1．
若p≤-

1

2

，则g^/（x）≥0，g（x）＞g（0）=0，从而?n∈N^*，ln(1+

1

n

)＞

1

n

+

p

n2

；
若p≥-

1

4

，则g^/（x）≤0，g（x）＜g（0）=0，从而?n∈N^*，ln(1+

1

n

)＜

1

n

+

p

n2

；
若-

1

2

＜p＜-

1

4

，解g^/（x）=0，得x₁=0或x2=-

1

2p

-1，而且x₂是g（x）的一个极小值点．
综上所述，使不等式ln(1+

1

n

)＞

1

n

+

p

n2

（n∈N^*）恒成立的p的取值范围是(-∞，-

1

2

]．

点评：本题主要考查用导数法研究函数的单调性，基本思路是：当函数为增函数时，导数大于等于零；当函数为减函数时，导数小于等于零，（2）是数列不等式，需要关注两点，一是构造函数并运用函数的单调性证明数列不等式，二是根据解题要求选择是否分离变量．