题目内容
如图，某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y=Asinωx（A＞0，ω＞0）x∈[0，4]的图象，且图象的最高点为S(3，2| 3 |
（1）求A，ω的值和M，P两点间的距离；
（2）应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？
分析：（1）由图得到A及周期，利用三角函数的周期公式求出ω，将M的横坐标代入求出M的坐标，利用两点距离公式求出|MP|
（2）利用三角形的正弦定理求出NP，MN，求出折线段赛道MNP的长，化简三角函数，利用三角函数的有界性求出最大值．
（2）利用三角形的正弦定理求出NP，MN，求出折线段赛道MNP的长，化简三角函数，利用三角函数的有界性求出最大值．
解答：解：（1）因为图象的最高点为S(3，2
)
所以A=2
，
由图知y=Asin?x的周期为T=12，又T=
，所以ω=
，所以y=2
sin
x
所以M（4，3），P（8，0）
|MP|=
=5
（2）在△MNP中，∠MNP=120°，故θ∈（0°，60°）
由正弦定理得
=
=
，
所以NP=
sinθ，MN=
sin(60°-θ)
设使折线段赛道MNP为L则
L=
sin(60°-θ)+
sinθ
=
[sin(60°-θ)+sinθ]
=
sin(θ+60°)
所以L的最大值是
| 3 |
所以A=2
| 3 |
由图知y=Asin?x的周期为T=12，又T=
| 2π |
| ? |
| π |
| 6 |
| 3 |
| π |
| 6 |
所以M（4，3），P（8，0）
|MP|=
| (8-4)2+32 |
（2）在△MNP中，∠MNP=120°，故θ∈（0°，60°）
由正弦定理得
| 5 |
| sin120° |
| NP |
| sinθ |
| MN |
| sin(60°-θ) |
所以NP=
10
| ||
| 3 |
10
| ||
| 3 |
设使折线段赛道MNP为L则
L=
10
| ||
| 3 |
10
| ||
| 3 |
=
10
| ||
| 3 |
=
10
| ||
| 3 |
所以L的最大值是
10
| ||
| 3 |
点评：本题考查有图象得三角函数的性质，由性质求函数的解析式、考查两点距离公式、考查三角形的正弦定理、考查三角函数的有界性．
练习册系列答案
阅读快车系列答案
相关题目
如图，某市拟在长为16km的道路OP的一侧修建一条自行车赛道，赛道的前一部分为曲线OSM，该曲线段为函数y=Asinωx（A＞0，ω＞0，x∈[0，8]的图象，且图象的最高点为S（6，4
)；赛道的后一部分为折线段MNP，为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP＝120°
；赛道的后一部分为折线段MNP．为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP＝120°．
的图象，且图象的最高点为
；赛道的后一部分为折线段MNP．为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP＝120°．
）．赛道的后一段为折线段MNP，为保证参赛队员的安全，限定∠MNP=120°．