Question

（1）求函数f（x）=4 ^x-3×2^x+1+3（0≤x≤4）的最大值与最小值；
（2）已知函数f（x）=a2x-x2+b（a，b是常数，且a＞1）在区间[0，2]上有最大值5，最小值2，求实数a，b的值．

Answer 1

分析：（1）由0≤x≤4，知1≤2^x≤16，故f（x）=4 ^x-3×2^x+1+3=（2^x-3）²-6，由此能求出f（x）=4 ^x-3×2^x+1+3（0≤x≤4）的最大值与最小值．
（2）由a，b是常数，且a＞1，知f（x）=a2x-x2+b=a1-(x-1)2+b在区间[0，2]上的最大值是f（1）=a+b，最小值是f（0）=f（2）=1+b，由此能求出实数a和b．

解答：解：（1）∵0≤x≤4，
∴1≤2^x≤16，
∴f（x）=4 ^x-3×2^x+1+3
=（2^x）²-6×2^x+3
=（2^x-3）²-6，
∴当2^x=3时，f（x）=4 ^x-3×2^x+1+3（0≤x≤4）取最小值-6，
当2^x=16时，f（x）=4 ^x-3×2^x+1+3（0≤x≤4）取最大值163．
（2）∵a，b是常数，且a＞1，
∴f（x）=a2x-x2+b=a1-(x-1)2+b在区间[0，2]上的最大值是f（1）=a+b，
最小值是f（0）=f（2）=1+b，
∵函数f（x）=a2x-x2+b（a，b是常数，且a＞1）在区间[0，2]上有最大值5，最小值2，
∴

a+b=5 1+b=2

，
解得a=4，b=1．

点评：本题考查指数函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意配方法的合理运用．