Question

已知椭圆的两个焦点F1(-

3

，0)，F2(

3

，0)，过F₁且与坐标轴不平行的直线l₁与椭圆相交于M，N两点，如果△MNF₂的周长等于8．
（I）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若过点（1，0）的直线l与椭圆交于不同两点P、Q，试问在x轴上是否存在定点E（m，0），使

PE

•

QE

恒为定值？若存在，求出E的坐标及定值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（I）由题意知c=

3

，4a=8，由此能得到椭圆的方程．
（II）当直线l的斜率存在时，设其斜率为k，则l的方程为y=k（x-1）

x2 4 +y2=1 y=k(x-1)

消去y得（4k²+1）x²-8k²x+4k²-4=0，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由韦达定理结合向量的运算法则能够导出

PE

•

QE

为定值

33

64

．

解答：解：（I）由题意知c=

3

，4a=8，∴a=2，b=1
∴椭圆的方程为

x2

4

+y2=1
（II）当直线l的斜率存在时，设其斜率为k，则l的方程为y=k（x-1）

x2 4 +y2=1 y=k(x-1)

消去y得（4k²+1）x²-8k²x+4k²-4=0
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
则由韦达定理得x1+x2=

8k2

4k2+1

x1x2=

4k2-4

4k2+1

则

PE

=(m-x1，-y1)

QE

=(m-x2，-y2)
∴

PE

•

QE

=(m-x1)(m-x2)+y1y2=m²-m（x₁+x₂）+x₁x₂+y₁y₂
=m²-m（x₁+x₂）+x₁x₂+k²（x₁-1）（x₂-1）
=m2-m

8k2

4k2+1

+

4k2-4

4k2+1

+k2(

4k2-4

4k2+1

-

8k2

4k2+1

+1)
=

(4m2-8m+1)k2+(m2-4)

4k2+1

要使上式为定值须

4m2-8m+1

m2-4

=

4

1

，解得m=

17

8

∴

PE

•

QE

为定值

33

64

当直线l的斜率不存在时P(1，

3

2

)，Q(1，-

3

2

)由E(

17

8

，0)可得

PE

=(

9

8

，-

3

2

)

QE

=(

9

8

，

3

2

)∴

PE

•

QE

=

81

64

-

3

4

=

33

64

综上所述当E(

17

8

，0)时，

PE

•

QE

为定值

33

64

点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，合理地进行等价转化，注意韦达定理和向量知识的合理运用．