Question

已知函数y=5cos（

2k+1

3

πx-

π

6

）（其中k∈N），对任意实数a，在区间[a，a+3]上要使函数值

5

4

出现的次数不少于4次且不多于8次，求k值．

Answer 1

分析：根据题意，可得cos（

2k+1

3

πx-

π

6

）=

1

4

．由余弦函数的图象与性质，得当长度为3的区间大于2个周期且小于4个周期时，可使区间[a，a+3]上要使函数值

5

4

出现的次数不少于4次且不多于8次，由此建立关于k的不等式并解之，即可得到整数k的值．

解答：解：由5cos（

2k+1

3

πx-

π

6

）=

5

4

，得cos（

2k+1

3

πx-

π

6

）=

1

4

．
∵函数y=cosx在每个周期内出现函数值为

1

4

的有两次，而区间[a，a+3]长度为3，
∴为了使长度为3的区间内出现函数值

1

4

不少于4次且不多于8次，
必须使3不小于2个周期长度且不大于4个周期长度．
即2×

2π

2k+1 3 π

≤3且4×

2π

2k+1 3 π

≥3，
解之得

3

2

≤k≤

7

2

．
∵k∈N，故k值为2或3．

点评：本题给出三角函数满足的条件，求参数k的取值，着重考查了三角函数的图象与性质、不等式的解法等知识，属于中档题．