Question

已知直线L：y=x+m（m∈R）
（1）若直线L与x轴、y轴分别交于点A，B，O为直角坐标系的原点，且△OAB的面积为4，求直线L的方程；
（2）若以点M（2，0）为圆心的圆与直线L相切与点P，且点P在y轴上；求该圆M的方程．

Answer 1

分析：（1）先求直线L：y=x+m（m∈R）与x轴、y轴分别交于点A（-m，0），B（0，m），进而可表示面积，所以可求直线L的方程；
（2）根据MP的长度等于点M到直线L的距离，可建立方程2（m²+4）=（m+2）²，从而求出m=2，进而可求方程．

解答：解：（1）直线L：y=x+m（m∈R）与x轴、y轴分别交于点A（-m，0），B（0，m），…（2分）
∴△OAB的面积S△OAB=

1

2

|m|2=4，∴m=±2

2

…（5分）
所以所求的直线L的方程为：y=x±2

2

…（6分）
（2）因为圆与直线L相切与点P，且点P在y轴上；且直线L：y=x+m（m∈R）．
所以P（0，m），…（8分）MP的长度等于点M到直线L的距离，∴

4+m2

=

|m+2|

2

，
∴2（m²+4）=（m+2）²，∴m=2，∴r=2

2

…（12分）∴（x-2）²+y²=8．…（13分）

点评：本题主要考查求解直线与圆的方程，应注意圆的特殊性，从而巧妙求解．