Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

2

2

，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+

2

=0相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过点M（2，0）的直线与椭圆C相交于两点A，B，设P为椭圆上一点，且满足

OA

+

OB

=t

OP

（O为坐标原点），求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用直线与圆相切的充要条件列出方程求出b的值，利用椭圆的离心率公式得到a，c的关系，再利用椭圆本身三个参数的关系求出a，c的值，将a，b的值代入椭圆的方程即可；
（2）设AB的方程代入椭圆方程，消元可得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0，利用

OA

+

OB

=t

OP

确定A，B，P三点之间的关系，利用点P在椭圆上，建立方程，从而可求实数t的取值范围．

解答：解：（1）∵以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+

2

=0相切
∴

2

2

=b，∴b=1
∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

2

2

，
∴

c

a

=

2

2

∴

a2-1

a2

=

1

2

∴a²=2
∴椭圆C的方程为：

x2

2

+y2=1…（4分）
（2）由题意知直线AB的斜率存在．
设AB：y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y），
代入椭圆方程，消元可得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0．
∴△=64k⁴-4（2k²+1）（8k²-2）＞0，∴k2＜

1

2

．
∵

OA

+

OB

=t

OP

∴x=

x1+x2

t

=

8k2

t(1+2k2)

，y=

-4k

t(1+2k2)

（8分）
∵点P在椭圆上，∴

(8k2)2

t2(1+2k2)2

+2

(-4k)2

t2(1+2k2)2

=2，
∴16k²=t²（1+2k²）…（10分）
∴t2=8-

8

1+2k2

，
∵k2＜

1

2

，∴t²∈（0，4）
∴t∈（-2，0）∪（0，2）…（12分）

点评：本题重点考查圆锥曲线的方程，考查直线与圆锥曲线的位置关系，解题的关键是利用待定系数法求圆锥曲线的方程．